Messbare Kardinalzahlen

Messbare Kardinalzahlen sind eine der berühmtesten Arten großer Kardinalzahlen.^[1] Sie sind weit größer als alle Mengen, die man in der Mengenlehre ZFC konstruieren kann, selbst wenn man zum Mengenuniversum sukzessive (transfinit) immer mehr unerreichbare Kardinalzahlen hinzufügt.

Definition

Eine messbare Kardinalzahl κ (aufgefasst als eine Menge mit der Kardinalität κ) erlaubt eine Einteilung aller ihrer Teilmengen in „große“ und „kleine“ mit den Eigenschaften:

κ ist groß.
Alle Teilmengen mit einer Kardinalität kleiner als κ sind klein.
Die Vereinigung von weniger als κ vielen kleinen Teilmengen ist ebenfalls klein.
Der Durchschnitt von weniger als κ vielen großen Teilmengen ist ebenfalls groß.
Komplemente von kleinen Mengen sind groß, und Komplemente von großen Mengen sind klein.
Wenn κ in weniger als κ viele disjunkte Teilmengen zerlegt wird, dann ist genau eine davon groß.

Mit Fachbegriffen heißt das:

Auf κ gibt es einen nicht trivialen (freien), κ-vollständigen Ultrafilter.

Oder (gleichbedeutend):

Auf κ gibt es ein nicht triviales, totales, κ-additives zweiwertiges Maß.

κ ist überabzählbar.

Sonst wäre ℵ₀ eine messbare Kardinalzahl.

Wie gefunden?

Auf ℝ gibt es kein Maß, das auf allen Teilmengen definiert ist (Satz von Vitali). Gibt es vielleicht auf einer größeren Menge so ein Maß (Banach-Ulam-Problem)?^[2]

Wichtigste Eigenschaften

Wenn es eine messbare Kardinalzahl gibt, dann

ist sie größer als unerreichbare, Mahlo- und total unbeschreibbare Kardinalzahlen.^[3] Genauer: Eine messbare Kardinalzahl κ enthält κ viele Mahlo-Kardinalzahlen, ist die κ-te Kardinalzahl mit dieser Eigenschaft usw. Analog für unerreichbare Kardinalzahlen sowie für alle Eigenschaften, die in jedem kleineren Mengenuniversum gelten, wenn sie in einem größeren gelten.^[4]
lassen sich die Kardinalzahlen ab ihr „verschieben“, ohne am Wahrheitsgehalt von Sätzen der Mengenlehre etwas zu ändern (elementare Einbettung).
gibt es eine nicht konstruktible Menge (d. h. das Konstruierbarkeitsaxiom kann dann nicht gelten, kurz: V ≠ L).

Wie vorstellen?

Es ist schwierig, sich eine Operation vorzustellen, die mit kleineren Kardinalen beginnt und das erste messbare Kardinal ergibt^[5]

Meines Erachtens heißt das (zusammen mit den genannten Eigenschaften von messbaren Kardinalzahlen):

Messbare Kardinalzahlen gibt es eigentlich nicht – sie kommen in der Hierarchie der großen Kardinalzahlen, so weit diese konstruierbar ist, nicht vor. Man kann aber annehmen, dass es oberhalb dieser konstruierbaren Hierarchie doch noch eine messbare Kardinalzahl gibt.

D. h. man gibt die ganze konstruierbare Hierarchie in eine Menge (ähnlich wie man alle bildbaren Mengen in eine Menge vereinigt, die dann unerreichbar ist) und hängt dann oben eine per Definition messbare Kardinalzahl dazu (nicht konstruktibel).

Alle Arten von kleineren Kardinalzahlen, bei denen es keine größte gibt, sind dann logischerweise ein „Häufungspunkt“ bei der hinzugefügten messbaren Kardinalzahl (so wie sich alle Arten von reellen Zahlen, bei denen es keine größte gibt, in der Umgebung von „Unendlich“ häufen).

Es leuchtet mir auch ein, dass man Kardinalzahlen ab einer messbaren „verschieben“ kann, ohne am Wahrheitsgehalt von Sätzen der Mengenlehre etwas zu ändern: Da man messbare Kardinalzahlen nicht von kleineren Kardinalzahlen ausgehend erreichen kann, fällt es nicht auf, wenn man eine messbare Kardinalzahl auf eine größere messbare „verschiebt“.

Dass sich messbare Kardinalzahlen wirklich nicht „von unten“ definieren lassen, ist meines Wissens nicht bewiesen.

Plausibel?

Andere Mathematiker sehen es ähnlich wie ich:

Rechtfertigungen für die Existenzannahme messbarer Kardinalzahlen sind anderswo zu suchen als im bloßen transfiniten Zählen und dem immer fortgesetzten Weiterzählen.

Im Gegensatz zu kleinen großen Kardinalen, deren Existenz durch die Unerschöpflichkeit [des Mengenuniversums] begründbar ist, wird von messbaren Kardinalen üblicherweise nicht behauptet, dass sie sich natürlicherweise aus dem Begriff der Menge oder deren iterativen Hierarchie ergeben^[6]

Vergangenheit

Noch in den 1970ern glaubten die meisten Mengentheoretiker, dass es wahrscheinlich keine messbaren Kardinalzahlen gibt. Eine so ungeheuer große Kardinalzahl anzunehmen, erschien nicht vernünftig.^[7] Viele, die sich mit messbaren Kardinalzahlen beschäftigten, wollten sie widerlegen. Aber bis dato gelang niemandem, die Annahme ihrer Existenz auf einen Widerspruch zu führen.

Relevanz

Wenn es eine messbare Kardinalzahl gibt, dann sind alle Mengen von reellen Zahlen, die üblicherweise in der Mathematik auftreten (projektive Mengen), messbar^[8] (d. h. allen kann auf stimmige Weise eine Länge zugeordnet werden).
Das Überraschende ist, dass messbare Kardinale, die so weit von den reellen Zahlen ... entfernt sind, so viel Einfluss auf die grundlegenden Eigenschaften von reellen Zahlen haben.^[9]
Die meisten Mengen reeller Zahlen (analytische Mengen) sind dann nicht nur messbar, sondern auch nach anderen Kriterien „gutartig“ (determiniert).
Fügt man eine messbare Kardinalzahl zum konstruktiblen Mengenuniversum L hinzu, kann man nachweisen, dass L nur abzählbar viele reelle Zahlen enthält (Gaifman-Rowbottom-Satz). D. h. es gibt nur abzählbar viele konstruktible reelle Zahlen.^[10]

Vor allem für die Mengenlehre selbst erwiesen sich messbare Kardinalzahlen als so fruchtbar (für Modelle, elementare Einbettungen, Ultrapotenzen, ...), dass sie heute kaum noch als verzichtbar erachtet werden.

Weiter

Wie wurden große Kardinalzahlen gefunden?

Quellen

[1]	Stanford Encyclopedia of Philosophy, Artikel „Set Theory“, Abschnitt „Large cardinals“ – „most famous large cardinals, called measurable“ Oliver Deiser: Reelle Zahlen, Abschnitt „Determiniertheit und Regularität der projektiven Mengen“ – Die Aussage „es existiert eine messbare Kardinalzahl“ gehört „heute zu den prominentesten großen Kardinalzahlaxiomen“. Stefan Bold: AD und Superkompaktheit (PDF), Diplomarbeit, S. II (im PDF S. 4) – meßbare Kardinalzahl = „vermutlich der bekannteste Typ Großer Kardinalzahlen“ Penelope Maddy: Believing the Axioms, part I (PDF), The Journal of Symbolic Logic, 1988, S. 505 (im PDF S. 26) – „because of their power, they [measurable cardinals] are probably the best known large cardinals of all.“
[2]	Edgar A. Bering IV: A brief introduction to measurable cardinals (PDF), S. 1 – „is there a cardinality high enough to admit an interesting measure defined on the power set of a set of that cardinality?“ D. H. Fremlin: Measure Theory, Kapitel 54 (PDF), S. 1 – „,Banach-Ulam problem‘: is there a non-trivial measure space in which every set is measurable?“
[3]	Stanford Encyclopedia of Philosophy, Artikel „Set Theory“, Abschnitt „Large cardinals“ – „Every measurable cardinal `κ` is weakly compact, and there are many weakly compact cardinals smaller than `κ`. In fact, below `κ` there are many cardinals that are totally indescribable, i.e., they reflect all sentences, of any complexity, and in any higher-order language.“
[4]	Frank R. Drake: Set Theory. An Introduction to Large Cardinals. Amsterdam: North-Holland, 1974, S. 185, Theorem 2.11 – „if `κ` is measurable, then `κ` is in the `κ`^th Mahlo class, and is the `κ`^th cardinal with this property, etc. Indeed, if `θ`(`x`) is any property which can be expressed by a formula which is preserved under restriction such that `θ`(`κ`) holds in `V`, then `κ` is the `κ`^th cardinal for which `θ` holds.“
[5]	Frank R. Drake: Set Theory. An Introduction to Large Cardinals. Amsterdam: North-Holland, 1974, S. 186 – „It is difficult to imagine a process which builds up from smaller ordinals to give the first measurable cardinal“
[6]	Penelope Maddy: Believing the Axioms, part I (PDF), The Journal of Symbolic Logic, 1988, S. 505 (im PDF S. 26) – „Unlike the small large cardinals suggested by inexhaustibility, measurable cardinals are not usually held to follow naturally from the concept of set or the nature of the iterative hierarchy“
[7]	Frank R. Drake: Set Theory. An Introduction to Large Cardinals. Amsterdam: North-Holland, 1974, S. 185f. – „The property ’`κ` is measurable’ cannot be expressed by a formula preserved under restriction. ... It is partly the extreme power of this result which leads to the feeling, fairly common among set theorists, that measurable cardinals are not very ,reasonable‘, and it is more likely that there are no measurable cardinals.“
[8]	Joan Bagaria: A Short Excursion to Cantor’s Paradise (übersetzt aus dem Katalanischen) – „if there is a measurable cardinal, then all Σ¹₂ sets of reals are Lebesgue measurable. ... all sets of real numbers appearing normally in mathematical practice are projective“
[9]	Joan Bagaria: A Short Excursion to Cantor’s Paradise (übersetzt aus dem Katalanischen) – „What is surprising is that measurable cardinals, so far away from the real numbers in `V`, have so much influence over the basic properties of real numbers.“
[10]	John L. Bell: Measurable Cardinals (PDF), S. 10, Theorem 8 - „(Gaifman-Rowbottom). If a measurable cardinal exists, then Pω ∩ `L` is countable, in particular, there are only countably many constructible real numbers.“

Seite erstellt am 14.6.2026 – letzte Änderung am 14.6.2026

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