Kardinalzahlen
Durch eine Kardinalzahl wird angegeben:
- die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge
- wie „groß“ eine unendliche Menge ist, d. h. auf welche andere unendliche Menge sie umkehrbar eindeutig abgebildet werden kann (Dass es unter den unendlichen Mengen verschiedene Abstufungen gibt, wurde erst 1873 von Georg Cantor entdeckt.)
Man nennt diese Zahl auch Kardinalität oder Mächtigkeit der Menge.
Beispiele
| Kardinalzahl | Beispielmenge | Typ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | {1} | endliche Menge | höchstens abzählbare Menge | |||
| 2 | {1, 2} | |||||
| 3 | {1, 2, 3} | |||||
| ℵ0
(Aleph Null) | ℶ0
(Beth Null) | |ℕ| |
| abzählbare Menge | ||
| 2ℵ0 | ℶ1 | |ℝ| | 𝔠
(Fraktur c) |
| überabzählbare Menge | |
| 2(2ℵ0) | ℶ2 | |𝒫(ℝ)| | 𝔣
(Fraktur f) |
| ||
Diese Liste ließe sich fortsetzen, denn für jede Menge hat die Menge aller ihrer Teilmengen eine größere Kardinalität. In der Praxis kommen größere Mengen, als in der Tabelle angegeben, jedoch kaum vor (sagt die Wikipedia und entspricht meiner Erfahrung als Mathematiker). Meist reicht sogar schon die Unterscheidung zwischen abzählbar und überabzählbar, weshalb die Kardinalzahlen für unendliche Mengen nur relativ selten gebraucht werden.
Kontinuumshypothese
Es lässt sich weder beweisen noch widerlegen, dass die Kardinalität der reellen Zahlen die nächstgrößere nach den natürlichen Zahlen ist. Deswegen ist von allen Alephs nur ℵ0 in obiger Tabelle. (Diese Alephs zählen alle Mächtigkeiten unendlicher Mengen durch; die Beths ergeben sich hingegen durch fortgesetzten Übergang von einer Menge zur Menge ihrer Teilmengen.)
Schreibweise
Die Mächtigkeit einer Menge M wird mit Betragstrichen geschrieben: |M|
Die Aleph-, Beth- und Fraktur-
Beth- und Fraktur-
