Mario Sedlak
Wissenschaft
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Zahlen

Zahlen braucht man zum Zählen – eigentlich, denn die Mathematik hat den Zahlbegriff sehr weit gedehnt, weil es für gewisse Zwecke nötig ist:

Menge Abk. Beschreibung Beispiele

Entstehen, indem man immer um 1 weiterzählt (beliebig oft, aber nicht unendlich oft).

In den natürlichen Zahlen kann man multiplizieren und addieren.

0 ist laut ÖNORM auch eine natürliche Zahl, aber nur ca. die Hälfte der Mathematiker hält sich daran.

Entstehen durch wiederholtes hinauf- oder herunterzählen um 1.

Dadurch kann man Zahlen nicht nur addieren, sondern auch abziehen.

  • ..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...

Ganze Zahlen und Bruchzahlen ("Tortenstücke")

Dadurch entsteht eine Zahlengerade. Die Division zweier rationaler Zahlen ergibt wieder eine rationale Zahl (ausgenommen Division durch 0).

Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar (d. h. alle rationalen Zahlen können mit natürlichen Zahlen durchnummeriert werden).

  • 1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, ...
  • 1/2 = 2/4 = 4/8 = ...
ℝ\ℚ

Nicht alle Rechnungen mit rationalen Zahlen ergeben wieder eine rationale Zahl. Z. B. gibt es keine rationale Zahl, die mit sich selbst multipliziert = 2 ergibt. Diese müsste die Form p2/q2 = 2 haben, aber es gibt einfach keine zwei Quadratzahlen, die sich nur um den Faktor 2 unterscheiden (wie man an der Primfaktorzerlegung erkennt).

Irrationale Zahlen existieren nur in der reinen Mathematik, da in der Wirklichkeit jede Messung mit einem Messfehler behaftet ist, sodass de facto nur rationale Zahlen gemessen werden können.

Irrationale Zahlen können durch rationale Zahlen beliebig genau angenähert werden.

  • Wurzel(2) = Länge der Diagonale eines Quadrats mit Seitenlänge 1 = 1,41421356...
  • Lösung der Gleichung x5x + 1 = 0
  • Kreiszahl π = 3,14159265...
  • Eulersche Zahl e = 2,7182818...

Alle Zahlen, die Nullstellen eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten sind (= alle rationalen Zahlen und Teilmenge der irrationalen Zahlen)

Das sind alle Zahlen, die man aus rationalen Zahlen durch Wurzelziehen erhalten kann, sowie weitere, denn ab dem 5. Grad können Polynome Nullstellen haben, die sich nicht mehr als Ausdruck mit Wurzeln aufschreiben lassen.

  • Wurzel(2)
  • Lösung der Gleichung x5x + 1 = 0

Irrationale Zahlen, die nicht algebraisch sind

Solche Zahlen können nicht mit Methoden der Algebra, sondern nur als Grenzwerte unendlicher Folgen dargestellt werden.

  • Kreiszahl π = 3,14159265...
  • Eulersche Zahl e = 2,7182818...

Alle rationalen und irrationalen Zahlen

Jede reelle Zahl lässt sich als Folge von Ziffern (und einem Komma) darstellen. Alle möglichen Ziffernfolgen lassen sich nicht mehr durchnummerieren (siehe Cantors zweites Diagonalargument), d. h. die reellen Zahlen sind eine überabzählbare Menge. Somit gibt es in einem gewissen Sinne "deutlich mehr" irrationale als rationale Zahlen.

Jede Folge von reellen Zahlen, die sich im Verlauf der Folge beliebig nahe kommen, hat wieder eine reelle Zahl als Grenzwert.

Negative Zahlen haben keine reelle Quadratwurzel. Es gibt einfach keine reelle Zahl, die, mit sich selbst multipliziert, eine negative Zahl liefert – Minus mal Minus ergibt Plus!

Die Mathematiker definierten nun i = Wurzel(–1) als neue "Zahl", die nicht reell, sondern "imaginär" ist.

  • i2 = –1
  • i + i = 2i
  • (2i)2 = –4

Reelle und imaginäre Zahlen können nicht zusammengezählt werden. Mit den nicht weiter reduzierbaren Ausdrücken der Form a + bi kann jedoch gerechnet werden, als seien es Zahlen. Das Ergebnis ist stets wieder von dieser Form; alle komplexen Zahlen können als Punkte einer Zahlenebene veranschaulicht werden.

In den komplexen Zahlen ist jede Polynom-Gleichung mit einer Unbekannten lösbar (Fundamentalsatz der Algebra). Dadurch fallen Sonderfälle weg und auch aus anderen Gründen werden viele mathematische Zusammenhänge einfacher.

Alle Rechenoperationen (außer Division durch 0) sind nun möglich. Deswegen heißen die komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen.

Einziger Nachteil: Es gibt keine natürliche Reihenfolge mehr. Die Größer-Kleiner-Beziehung ist beim Übergang von den reellen zu den komplexen Zahlen verlorengegangen.

  • i + 1
  • 3i – Wurzel(2)
  • πi
  • 1,23456

Vergangenheit

Generell deuten die Zahlbezeichnungen "irrational" (unvernünftig), "imaginär" (eingebildet) und "transzendent" (übernatürlich) darauf hin, dass von den Mathematikern im Laufe der Jahrhunderte erhebliche erkenntnistheoretische Schwierigkeiten zu überwinden waren.[1]

Euler nannte die transzendenten Zahlen "schwer fassbar", denn sie "überschreiten (transzendieren) die Wirksamkeit algebraischer Methoden".

Auch die Zahl 0 gab es lange nicht. Offenbar waren auch hier Denkbarrieren zu überwinden. Vielleicht: "Wozu soll man 'nichts' aufschreiben?"

Definition

Wir beantworten nicht die Frage, was eine Zahl ist, denn Mathematiker brauchen diese Frage gar nicht zu stellen – und anderen wird sie niemals als Frage erscheinen![2]

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Weblinks

Quellen

[1] Eberhard Zeidler (Hrsg.): Teubner-Taschenbuch der Mathematik. Stuttgart: Teubner, 1996, S. 220
[2] Hubert B. Griffith, P. J. Hilton: Klassische Mathematik in zeitgemäßer Darstellung. Göttingen: Vandenhoeck, 1976 (engl. Original 1971), Band 3, S. 10