Mario Sedlak
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Verallgemeinerungen von Zahleneigenschaften

Zahlen sind die vertrautesten Gebilde der Mathematik. Das, was man mit ihnen machen kann, verallgemeinert der Mathematiker auf möglichst viele andere mathematische Objekte.

Rechengesetze

Vorbild Verallgemeinerung wesentlich Beispiele
Gruppe Operation ist eindeutig umkehrbar.
  • Permutationen
  • umkehrbare Abbildungen
  • Drehungen des regulären n-Ecks
  • Multiplizieren, Addieren und Subtrahieren wie bei den ganzen Zahlen
Ring a(b + c) = ab + ac (Distributivgesetz)
  • Polynome
  • Restklassen (z. B. 0, 1, 2, 3, wobei 3 + 1 = 0 ist)
  • quadratische Matrizen
  • Multiplizieren, Dividieren, Addieren und Subtrahieren wie bei den rationalen oder reellen Zahlen
Körper
  • Restklassen, deren Elementeanzahl eine Primzahl p oder eine Potenz pn einer Primzahl ist
  • p-adische Zahlen
  • surreale Zahlen (größter angeordneter Körper)

Funktionen

Vorbild Verallgemeinerung wesentlich Beispiele
  • Absolutbetrag
Metrik Zwei beliebige Elemente haben bestimmten Abstand.
  • Funktionenräume
  • Matrizenrechnung
Topologie Für jedes Element gibt es "Umgebungen", d. h. Mengen von anderen Elementen, die in der Nähe liegen.
  • gekrümmte Flächen (Mannigfaltigkeiten)
  • Ordinalzahlen
  • allgemeinste stetige Funktionen

Reihenfolge

Vorbild Verallgemeinerung wesentlich Beispiele
  • Größer-Kleiner-Beziehung
bei ganzen oder reellen Zahlen Totalordnung Zwei beliebige Elemente sind entweder gleich oder eines ist größer als das andere.
bei natürlichen Zahlen Wohlordnung Totalordnung ohne unendliche absteigende Kette Ordinalzahlen

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