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Verallgemeinerungen von Zahleneigenschaften

Zahlen sind die vertrautesten Gebilde der Mathematik. Das, was man mit ihnen machen kann, verallgemeinert der Mathematiker auf möglichst viele andere mathematische Objekte.

Rechengesetze

Vorbild	Verallgemeinerung	wesentlich	Beispiele
Addieren und Subtrahieren wie bei den ganzen Zahlen Multiplizieren und Dividieren wie bei den rationalen oder reellen Zahlen ohne 0	Gruppe	Operation ist eindeutig umkehrbar.	Permutationen umkehrbare Abbildungen Drehungen des regulären `n`-Ecks
Multiplizieren, Addieren und Subtrahieren wie bei den ganzen Zahlen	Ring	`a`(`b` + `c`) = `ab` + `ac` (Distributivgesetz)	Polynome Restklassen (z. B. 0, 1, 2, 3, wobei 3 + 1 = 0 ist) quadratische Matrizen
Multiplizieren, Dividieren, Addieren und Subtrahieren wie bei den rationalen oder reellen Zahlen	Körper		Restklassen, deren Elementeanzahl eine Primzahl `p` ist p-adische Zahlen surreale Zahlen (größter angeordneter Körper)

Funktionen

Vorbild	Verallgemeinerung	wesentlich	Beispiele
Absolutbetrag	Metrik	Zwei beliebige Elemente haben bestimmten Abstand.	Funktionenräume Matrizenrechnung
Absolutbetrag	Topologie	Für jedes Element gibt es „Umgebungen“, d. h. Mengen von anderen Elementen, die in der Nähe liegen.	gekrümmte Flächen (Mannigfaltigkeiten) Ordinalzahlen allgemeinste stetige Funktionen

Reihenfolge

Vorbild		Verallgemeinerung	wesentlich	Beispiele
Größer-Kleiner-Beziehung	bei ganzen oder reellen Zahlen	Totalordnung	Zwei beliebige Elemente sind entweder gleich oder eines ist größer als das andere.	Graphentheorie topologische Sortierung
Größer-Kleiner-Beziehung	bei natürlichen Zahlen	Wohlordnung	Totalordnung ohne unendliche absteigende Kette	Ordinalzahlen

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Römische Zahlen

Seite erstellt am 1.5.2019 – letzte Änderung am 14.11.2024