Unendlich
(Abkürzung: ∞)
In der Mathematik wird unendlich als Gegensatz zu endlich verwendet. Unendlich ist etwas, das nicht mit endlich vielen Schritten erreichbar ist. Ich unterscheide:
Zwischen 2 Spiegeln kann man ein Ding scheinbar unendlich oft sehen. Tatsächlich sind es aber nur endlich viele Abbilder, weil diese bei jeder Reflexion schwächer werden, bis man sie nicht mehr erkennen kann. Außerdem ist die Lichtgeschwindigkeit begrenzt ...
| Erklärung | Beispiele | |
|---|---|---|
| größer als jede (reelle oder komplexe) Zahl | formaler Grenzwert der Folge (1, 2, 3, ...) |
| mehr als mit jeder (natürlichen oder reellen) Zahl ausgedrückt werden kann | Anzahl aller natürlichen Zahlen |
| kleiner als jede positive Zahl, aber größer als 0 |
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| Man kann gedanklich ohne Ende voranschreiten (zeitlich oder räumlich). |
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| Fernpunkt in der Geometrie | 2 parallele Geraden schneiden sich im Unendlichen. |
Nutzen
In der Natur ist nichts Unendliches zu sehen:
In der Mathematik kommt das Unendliche hingegen sehr häufig vor, denn:
| Beispiele | |
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| Man kann z. B. sagen, dass sich 2 Geraden in der Ebene immer – u. U. im Unendlichen – schneiden. |
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Verständnis
Selbst mit sehr großen Zahlen kann man sich dem Unendlichen nicht nähern. Beim Sprung zur Unendlichkeit treten oft neue Phänomene auf, die es auch bei noch so großen endlichen Werten nicht gibt. Z. B. haben unendliche Mengen echte Teilmengen, die „gleich groß“ wie sie selbst sind.
Irrationale Zahlen haben unendlich viele Dezimalstellen.
Um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie groß „unendlich“ ist, betrachte eine irrationale Zahl wie π = 3,1415926535... Wenn die unendlich vielen Ziffern hinter dem Komma völlig „zufällig“ sind, dann kommt jede endliche Ziffernfolge irgendwann einmal vor, denn alles, was möglich ist, passiert irgendwann auch, sofern es hinreichend viele Gelegenheiten dazu gibt. Die Ziffernfolge könnte ein komplettes Buch oder sogar eine ganze Bibliothek codieren, und dennoch wird sie irgendwann in den Dezimalstellen von π vorkommen – und wenn einmal, dann sogar unendlich oft!
Wesentlich ist, dass man hier von praktischen Überlegungen absieht. Selbst der größte denkbare Computer wird π nicht auf genug Kommastellen berechnen können, um ein Buch darin codiert zu finden. Üblicherweise ist es richtig, derart unwahrscheinliche Möglichkeiten zu vernachlässigen. Mathematisch ist es jedoch falsch. Auch in folgenden Fällen muss deine Intuition womöglich umlernen, wenn du das Unendliche verstehen willst:
- Die Schar von Ellipsen, wie im folgenden Bild angedeutet, überdeckt genau die ganze Ebene:
Am Bild sieht es so aus, als müssten Lücken bleiben oder Punkte mehrfach überstrichen werden, doch das erscheint nur so, weil die Linien mit einer gewissen Strichdicke gezeichnet sind. Mathematisch sind sie unendlich dünn. - Ein Wesen schreibt ein Tagebuch – so ausführlich, dass es für einen Tag ein ganzes Jahr braucht. Es gerät also immer mehr in Rückstand. Wenn das Wesen unendlich lang lebt, dann kann es aber dennoch alle Tage niederschreiben.
Ein Professor bei meinem Mathematik-
Abgrenzung
| Ähnliche Begriffe | Erläuterung |
|---|---|
| Die Erdoberfläche ist unbegrenzt, aber nicht unendlich. |
| Wenn damit der Mikrokosmos bzw. das Weltall gemeint sind, dann handelt es sich dabei um Größenordnungen, die sich viele Menschen nicht vorstellen können – die aber sehr wohl durch endliche Zahlen (ungefähr 10−18–1027 m) beschrieben werden können. |
| Im allgemeinen Sprachgebrauch wird oft „unendlich“ verwendet, um eine Aussage besonders zu verstärken. Das ist ebenfalls nicht buchstäblich zu verstehen. |
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Siehe auch
- Kardinalzahlen – Messen die „Größe“ einer unendlichen Menge