Mario Sedlak
Mathematik
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Unendlich
(Abkürzung: ∞)

In der Mathematik wird unendlich als Gegensatz zu endlich verwendet. Unendlich ist etwas, das nicht mit endlich vielen Schritten erreichbar ist. Ich unterscheide:

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Zwischen 2 Spiegeln kann man ein Ding scheinbar unendlich oft sehen. Tatsächlich sind es aber nur endlich viele Abbilder, weil diese bei jeder Reflexion schwächer werden, bis man sie nicht mehr erkennen kann. Außerdem ist die Lichtgeschwindigkeit begrenzt ...

Erklärung Beispiele
  • unendlich groß
größer als jede (reelle oder komplexe) Zahl formaler Grenzwert der Folge (1, 2, 3, ...)
  • unendlich viel
mehr als mit jeder (natürlichen oder reellen) Zahl ausgedrückt werden kann Anzahl aller natürlichen Zahlen
  • unendlich klein
kleiner als jede positive Zahl, aber größer als 0
  • Infinitesimale (zum Differenzieren und Integrieren)
  • Eine Kreislinie, definiert als Menge aller Punkte mit Abstand r vom Mittelpunkt, ist „unendlich dünn“.
  • unendlich lang
Man kann gedanklich ohne Ende voranschreiten (zeitlich oder räumlich).
  • unendliche Folge
  • unendliche Kurve
  • unendlich weit weg
Fernpunkt in der Geometrie 2 parallele Geraden schneiden sich im Unendlichen.

Nutzen

In der Natur ist nichts Unendliches zu sehen:

In der Mathematik kommt das Unendliche hingegen sehr häufig vor, denn:

Beispiele
  • Dadurch vereinfachen sich viele Theorien.
Man kann z. B. sagen, dass sich 2 Geraden in der Ebene immer – u. U. im Unendlichen – schneiden.
  • Es können Grenzwerte definiert und es kann damit gerechnet werden.
  • Z. B. die Konstanten π oder e können nur als Grenzwert definiert werden.
  • Integral- und Differentialrechnung
  • Es ergeben sich neue Einsichten.
  • Nicht alle unendlichen Mengen sind gleich groß.
  • Es muss reelle Zahlen geben, die nur mit Grenzwerten definiert werden können (transzendente Zahlen).

Verständnis

Selbst mit sehr großen Zahlen kann man sich dem Unendlichen nicht nähern. Beim Sprung zur Unendlichkeit treten oft neue Phänomene auf, die es auch bei noch so großen endlichen Werten nicht gibt. Z. B. haben unendliche Mengen echte Teilmengen, die „gleich groß“ wie sie selbst sind.

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Irrationale Zahlen haben unendlich viele Dezimalstellen.

Um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie groß „unendlich“ ist, betrachte eine irrationale Zahl wie π = 3,1415926535... Wenn die unendlich vielen Ziffern hinter dem Komma völlig „zufällig“ sind, dann kommt jede endliche Ziffernfolge irgendwann einmal vor, denn alles, was möglich ist, passiert irgendwann auch, sofern es hinreichend viele Gelegenheiten dazu gibt. Die Ziffernfolge könnte ein komplettes Buch oder sogar eine ganze Bibliothek codieren, und dennoch wird sie irgendwann in den Dezimalstellen von π vorkommen – und wenn einmal, dann sogar unendlich oft!

Wesentlich ist, dass man hier von praktischen Überlegungen absieht. Selbst der größte denkbare Computer wird π nicht auf genug Kommastellen berechnen können, um ein Buch darin codiert zu finden. Üblicherweise ist es richtig, derart unwahrscheinliche Möglichkeiten zu vernachlässigen. Mathematisch ist es jedoch falsch. Auch in folgenden Fällen muss deine Intuition womöglich umlernen, wenn du das Unendliche verstehen willst:

Ein Professor bei meinem Mathematik-Studium meinte einmal: Unter „unendlich“ muss man sich genauso gut „kleiner Rauchfangkehrer“ vorstellen können. Er meinte damit vielleicht den Fernpunkt, in dem sich parallele Geraden schneiden. Aber selbst da würde ich ihm nicht zustimmen.

Abgrenzung

Ähnliche Begriffe Erläuterung
  • unbegrenzt
Die Erdoberfläche ist unbegrenzt, aber nicht unendlich.
  • „das unendlich Kleine“
  • „das unendlich Große“
  • „unendliche Weiten“
Wenn damit der Mikrokosmos bzw. das Weltall gemeint sind, dann handelt es sich dabei um Größenordnungen, die sich viele Menschen nicht vorstellen können – die aber sehr wohl durch endliche Zahlen (ungefähr 10−18–1027 m) beschrieben werden können.
  • „unendlich glücklich“
  • „unendlich viel Arbeit“
Im allgemeinen Sprachgebrauch wird oft „unendlich“ verwendet, um eine Aussage besonders zu verstärken. Das ist ebenfalls nicht buchstäblich zu verstehen.

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Arten von Unendlich

Siehe auch

Weblinks

Seite erstellt am 24.11.2024 – letzte Änderung am 6.12.2024