Arten von Unendlich
Potenzielles Unendlich
In den meisten Fällen kann man „unendlich“ in einen anderen Ausdruck „übersetzen“, wo nicht direkt „unendlich“ vorkommt:
| Beispiel | Übersetzung |
|---|---|
| Man kann endlos zählen. |
| Die Folge wächst über alle Grenzen. |
| alle negativen reellen Zahlen |
| Das Flächenelement wird als hinreichend klein angenommen (je kleiner, desto genauer) bzw. ein Grenzwert gebildet. |
| Wenn sich 2 gerade Linien schneiden, dann haben sie nur einen Punkt gemeinsam. |
| Zwei parallele Geraden schneiden sich nicht. |
Aktuales Unendlich
Bei unendlichen Mengen kommt man um das Unendliche nicht herum. Z. B. soll die Menge ℕ alle natürlichen Zahlen enthalten – so als könnte man „bis unendlich“ zählen.
Frühere Mathematiker (bis etwa 1900) haben das Studium von „vollendeter Unendlichkeit“ für Humbug gehalten. Entsprechend wurden unendliche Mengen kritisiert und abgelehnt. Heute glaubt nur noch eine kleine Minderheit, dass alle mathematischen Objekte konstruierbar sein müssen (konstruktivistische Mathematik).
Verschieden große Unendlichkeiten
Unendliche Mengen gibt es in verschiedenen „Größen“. Z. B. gibt es in gewissem Sinne „mehr“ reelle als natürliche Zahlen. Siehe Kardinalzahlen
