Mario Sedlak
Wissenschaft
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Erweiterungen der gängigen Zahlenbereiche

Im Gegensatz zu natürlichen Zahlen, ganzen Zahlen, rationalen Zahlen, reellen Zahlen und komplexen Zahlen werden die nachfolgenden "Zahlen" viel seltener gebraucht – hauptsächlich in der theoretischen Mathematik und Physik.

Erweiterungen der komplexen Zahlen (hyperkomplexe Zahlen)

Beschreibung Verwendung

Die komplexen Zahlen braucht man nicht erweitern, da sie algebraisch abgeschlossen sind, aber man kann sie erweitern: einfach eine zweite imaginäre Einheit j dazugeben. Das ergibt dann "Zahlen" der Form a + bi + cj + dij.

Bei der Multiplikation von Quaternionen kommt es auf die Reihenfolge der Multiplikatoren an.

Weitere Verdopplung auf nun acht Komponenten (eine reelle und sieben nicht weiter rückführbare imaginäre):

a + bi + cj + dk + eij + fik + gjk + hijk

Bei der Multiplikation von Oktonionen kommt es nicht nur auf die Reihenfolge an, sondern auch, wenn drei oder mehr Oktonionen zu multiplizieren sind, welche Multiplikation als erstes ausgeführt wird (Assoziativgesetz).

selten

Nochmalige Verdopplung auf nun 16 Komponenten

Multiplikation zweier Sedonionen, die ungleich 0 sind, kann 0 ergeben!

dadurch kaum noch brauchbar

Erweiterungen der reellen Zahlen

Beschreibung Verwendung
Erweiterung der reellen Zahlen um unendlich kleine und unendlich große Zahlen Differential- und Integralrechnung in der Nichtstandardanalysis
größtmöglicher denkbarer Zahlenbereich mit Größer-Kleiner-Beziehung, wo man so wie mit reellen Zahlen rechnen kann (in der Fachsprache: größter angeordneter Körper) Spieltheorie
reelle Zahlen +/– unendlich formale Angabe von Grenzwerten
Wie komplexe Zahlen, aber die nicht-reelle Einheit zum Quadrat ist hier nicht –1, sondern 0.

Formal wie bei Grenzwertbetrachtungen, wo Epsilon zum Quadrat = 0 ist

alternative Darstellung für gewisse Theorien
Wie komplexe Zahlen, aber die nicht-reelle Einheit zum Quadrat ist hier nicht –1, sondern 1.

Erweiterungen der rationalen Zahlen

Beschreibung Verwendung
Zahlen mit (u. U.) unendlich vielen Ziffern vor dem Komma (was durch ein geeignet definiertes Stellenwertsystem dennoch auf endliche Werte führt) Zahlentheorie

Erweiterungen der ganzen Zahlen

Beschreibung Verwendung
komplexe Zahlen a + bi mit ganzzahligen Koffizienten a und b Zahlentheorie
Ergänzung der ganzen Zahlen um ganzzahlige Vielfache der komplexen dritten Wurzel von 1 (Das ist die Form a + be2πi/3 mit ganzzahligen a und b.)

Ergibt Dreiecksgitter in der komplexen Zahlenebene

Zahlentheorie

Das sind eigentlich beides keine neuen Zahlenbereiche, sondern Teilmengen der bekannten komplexen Zahlen.

Erweiterungen der natürlichen Zahlen

Beschreibung Verwendung

Verallgemeinerung des Begriffs "Anzahl der Elemente" auf unendliche Mengen

In der angewandten Mathematik kommen praktisch keine Mengen vor, die eine größere Kardinalzahl als die reellen Zahlen haben. Theoretisch gibt es aber nach oben keine Grenze, da jede Menge eine kleinere Kardinalzahl als die Menge aller ihrer Teilmengen hat.

unendliche Mengen
Für Mengen mit Größer-Kleiner-Beziehung wie bei den natürlichen Zahlen (Fachwort: Wohlordnung) Beweise
  • hypernatürliche Zahlen
Teilmenge der hyperreellen Zahlen (alle natürlichen Zahlen mit ihren unendlich nahen Nachbarn und unendlich große Zahlen) Nichtstandardanalysis

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Verallgemeinerungen von Zahleneigenschaften