Erweiterungen der gängigen Zahlenbereiche

Im Gegensatz zu natürlichen Zahlen, ganzen Zahlen, rationalen Zahlen, reellen Zahlen und komplexen Zahlen werden die nachfolgenden „Zahlen“ viel seltener gebraucht – hauptsächlich in der theoretischen Mathematik und Physik.

Erweiterungen der komplexen Zahlen (hyperkomplexe Zahlen)

	Beschreibung	Verwendung
Quaternionen	Die komplexen Zahlen braucht man nicht erweitern, da sie algebraisch abgeschlossen sind, aber man kann sie erweitern: einfach eine zweite imaginäre Einheit j dazugeben. Das ergibt dann „Zahlen“ der Form `a` + `b`i + `c`j + `d`ij. Bei der Multiplikation von Quaternionen kommt es auf die Reihenfolge der Multiplikatoren an.	Darstellung von Drehungen theoretisch auch in der Physik brauchbar, habe ich dort aber noch nicht angetroffen.
Oktonionen	Weitere Verdopplung auf nun acht Komponenten (eine reelle und sieben nicht weiter rückführbare imaginäre): `a` + `b`i + `c`j + `d`k + `e`ij + `f`ik + `g`jk + `h`ijk Bei der Multiplikation von Oktonionen kommt es nicht nur auf die Reihenfolge an, sondern auch, wenn drei oder mehr Oktonionen zu multiplizieren sind, welche Multiplikation als erstes ausgeführt wird (Assoziativgesetz).	selten
Sedenionen	Nochmalige Verdopplung auf nun 16 Komponenten Multiplikation zweier Sedenionen, die ungleich 0 sind, kann 0 ergeben!	dadurch kaum noch brauchbar

Beschreibung

Verwendung

Quaternionen

Die komplexen Zahlen braucht man nicht erweitern, da sie algebraisch abgeschlossen sind, aber man kann sie erweitern: einfach eine zweite imaginäre Einheit j dazugeben. Das ergibt dann „Zahlen“ der Form a + bi + cj + dij.

Bei der Multiplikation von Quaternionen kommt es auf die Reihenfolge der Multiplikatoren an.

Darstellung von Drehungen
theoretisch auch in der Physik brauchbar, habe ich dort aber noch nicht angetroffen.

Oktonionen

Weitere Verdopplung auf nun acht Komponenten (eine reelle und sieben nicht weiter rückführbare imaginäre):

a + bi + cj + dk + eij + fik + gjk + hijk

Bei der Multiplikation von Oktonionen kommt es nicht nur auf die Reihenfolge an, sondern auch, wenn drei oder mehr Oktonionen zu multiplizieren sind, welche Multiplikation als erstes ausgeführt wird (Assoziativgesetz).

selten

Sedenionen

Nochmalige Verdopplung auf nun 16 Komponenten

Multiplikation zweier Sedenionen, die ungleich 0 sind, kann 0 ergeben!

dadurch kaum noch brauchbar

Erweiterungen der reellen Zahlen

	Beschreibung	Verwendung
hyperreelle Zahlen (Nichtstandard-Zahlen)	Erweiterung der reellen Zahlen um unendlich kleine und unendlich große Zahlen (Infinitesimalzahlen)	Differential- und Integralrechnung in der Nichtstandardanalysis
surreale Zahlen	größtmöglicher denkbarer Zahlenbereich mit Größer-Kleiner-Beziehung, wo man so wie mit reellen Zahlen rechnen kann (in der Fachsprache: größter angeordneter Körper)	Spieltheorie
erweiterte reelle Zahlen	reelle Zahlen +/− unendlich	formale Angabe von Grenzwerten
duale Zahlen	Wie komplexe Zahlen, aber die nicht-reelle Einheit zum Quadrat ist hier nicht −1, sondern 0. Formal wie bei Grenzwertbetrachtungen, wo Epsilon zum Quadrat = 0 ist	alternative Darstellung für gewisse Theorien
anormal-komplexe Zahlen	Wie komplexe Zahlen, aber die nicht-reelle Einheit zum Quadrat ist hier nicht −1, sondern 1.	alternative Darstellung für gewisse Theorien

Erweiterungen der rationalen Zahlen

	Beschreibung	Verwendung
p-adische Zahlen	Zahlen mit (u. U.) unendlich vielen Ziffern vor dem Komma (was durch ein geeignet definiertes Stellenwertsystem dennoch auf endliche Werte führt)	Zahlentheorie

Erweiterungen der ganzen Zahlen

	Beschreibung	Verwendung
Gaußsche Zahlen	komplexe Zahlen `a` + `b`i mit ganzzahligen Koffizienten `a` und `b`	Zahlentheorie
Eisenstein-Zahlen	Ergänzung der ganzen Zahlen um ganzzahlige Vielfache der komplexen dritten Wurzel von 1 (Das ist die Form `a` + `b`e^2πi/3 mit ganzzahligen `a` und `b`.) Ergibt Dreiecksgitter in der komplexen Zahlenebene	Zahlentheorie

Das sind eigentlich beides keine neuen Zahlenbereiche, sondern Teilmengen der bekannten komplexen Zahlen.

Erweiterungen der natürlichen Zahlen

	Beschreibung	Verwendung
Kardinalzahlen	Verallgemeinerung des Begriffs „Anzahl der Elemente“ auf unendliche Mengen In der angewandten Mathematik kommen praktisch keine Mengen vor, die eine größere Kardinalzahl als die reellen Funktionen haben. Theoretisch gibt es aber nach oben keine Grenze, da jede Menge eine kleinere Kardinalzahl als die Menge aller ihrer Teilmengen hat.	unendliche Mengen
Ordinalzahlen	Für Mengen mit Größer-Kleiner-Beziehung wie bei den natürlichen Zahlen (Fachwort: Wohlordnung)	Beweise bzw. Beweiskraft von mathematischen Theorien
hypernatürliche Zahlen	Teilmenge der hyperreellen Zahlen (alle natürlichen Zahlen mit ihren unendlich nahen Nachbarn und unendlich große Zahlen)	Nichtstandardanalysis

Beschreibung

Verwendung

Kardinalzahlen

Verallgemeinerung des Begriffs „Anzahl der Elemente“ auf unendliche Mengen

In der angewandten Mathematik kommen praktisch keine Mengen vor, die eine größere Kardinalzahl als die reellen Funktionen haben. Theoretisch gibt es aber nach oben keine Grenze, da jede Menge eine kleinere Kardinalzahl als die Menge aller ihrer Teilmengen hat.

unendliche Mengen