Mario Sedlak
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Primzahlen

Diagramm

Keine Anordnung als Rechteck möglich

Keine Primzahlen

Diagramm

Anordnung als Rechteck möglich

Primzahlen

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die größer als 1 ist und nur durch 1 und sich selbst ohne Rest geteilt werden kann. Die kleinsten Primzahlen sind:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...

Primzahlen sind faszinierend, denn

bis heute [ist] kein einfaches Muster unter der Folge ... der Primzahlen entdeckt worden. Zum Beispiel gibt es kein „schnelles“ Verfahren, die n-te Primzahl zu berechnen. Die genaue Natur der Primzahlen ist bis heute ein bedeutendes offenes Problem.
Sie wachsen wie Unkraut unter den natürlichen Zahlen, scheinbar keinem anderen Gesetz als dem Zufall unterworfen, und kein Mensch kann voraussagen, wo wieder eine sprießen wird, noch einer Zahl ansehen, ob sie prim ist oder nicht.

Ich stell mir eine Primzahl als eine Anzahl von Punkten vor, die sich nicht zu einem Rechteck anordnen lassen (siehe Bilder). Erstaunlich ist,

Bedeutung in der Mathematik

Primzahlen sind wichtiger als ich ursprünglich dachte, vor allem weil sich jede natürliche Zahl (außer 0) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen lässt (Primfaktorzerlegung, Hauptsatz der Arithmetik). – Das ist übrigens einer der Gründe, warum man die Zahl 1 nicht zu den Primzahlen zählt, denn wenn man 1 dazumultiplizieren kann oder auch nicht, wäre die Zerlegung nicht mehr eindeutig.

Außerdem hängen Primzahlen eng mit der Riemannschen Zetafunktion zusammen – eine Funktion von einer komplexen Zahl auf eine andere komplexe Zahl, in die alle Primzahlen „hineincodiert“ sind. Beispiel: Wenn die Verteilung von Primzahlen „zufällig“ ist, dann hat die Zetafunktion ganz bestimmte Nullstellen (Riemannsche Vermutung).

Anwendung

Große Primzahlen werden zur Verschlüsselung verwendet (z. B. von Webseiten). Das funktioniert, weil man z. B. eine hundertstellige Zahl praktisch nicht in ihre Primfaktoren zerlegen kann. Es gibt dafür kein schnelles Verfahren (zumindest bis jetzt).

Bezeichnung

Primzahl soll primäre (lateinisch: erste) Zahl bedeuten, womit offenbar gemeint ist, dass bei diesen die Vielfachen einer nicht weiter teilbaren Zahl „starten“.

Statt „... ist Primzahl“ sagt man auch „... ist prim“.

Weiter

Anzahl von Primzahlen

Weblinks

Seite erstellt am 25.3.2024 – letzte Änderung am 17.11.2024