Teilbarkeitsregeln

Diese sind hilfreich, wenn gerade kein Computer oder Taschenrechner zur Hand ist.

Zahl	ist Teiler, wenn die zu teilende Zahl folgende Eigenschaft hat:	Beispiel
2	gerade
3	Ziffernsumme durch 3 teilbar	3 \| 123, denn die Ziffernsumme = 1 + 2 + 3 = 6 = Vielfaches von 3.
4	letzte beide Ziffern (als eine 2-stellige Zahl betrachtet) durch 4 teilbar	4 \| 320, da 20 ein Vielfaches von 4 ist.
5	letzte Ziffer 0 oder 5
6	gerade und Ziffernsumme durch 3 teilbar	6 \| 126, da 1 + 2 + 6 = 9 = Vielfaches von 3
7	Für jeden vollen Hunderter zählt man zu den letzten beiden Ziffern (als eine 2-stellige Zahl betrachtet) 2 dazu. Wenn die so erhaltene Zahl durch 7 teilbar ist, dann auch die ursprüngliche. (Wenn die erhaltene Zahl zu groß ist, kann man das Verfahren mit dieser Zahl wiederholen, bis man eine kleine Zahl erhält.)	7 \| 231, da 2·2 + 31 = 35 = Vielfaches von 7
7	Oder (zuerst) für jeden vollen Tausender 1 von den letzten 3 Ziffern (als eine 3-stellige Zahl betrachtet) abziehen Du kannst auch umgekehrt die Zahl, die von den letzten 3 Ziffern gebildet wird, von den vollen Tausendern abziehen. (Es ändert sich nur das Vorzeichen, was keine Auswirkung auf die Teilbarkeit hat.)	7 \| 4235, da 235 – 1·4 = 231 laut voriger Zeile ein Vielfaches von 7 ist
8	letzte 3 Ziffern durch 8 teilbar oder Summe aus der letzten Ziffer, dem Doppelten der vorletzten Ziffer und dem Vierfachen der vorvorletzten Ziffer durch 8 teilbar	8 \| 456, da 6 + 2·5 + 4·4 = 32 = Vielfaches von 8
9	Ziffernsumme durch 9 teilbar	9 \| 495, da 4 + 9 + 5 = 18 = Vielfaches von 9
10	letzte Ziffer 0
11	Für jeden vollen Hunderter zählt man zu den letzten beiden Ziffern (als eine 2-stellige Zahl betrachtet) 1 dazu. Wenn die so erhaltene Zahl durch 11 teilbar ist, dann auch die ursprüngliche. (Verfahren ggf. wiederholen)	11 \| 1243, da 1·12 + 43 = 55 = Vielfaches von 11
12	teilbar durch 3 und 4
13	Für jeden vollen Hunderter zieht man von den letzten beiden Ziffern (als eine 2-stellige Zahl betrachtet) 4 ab. Wenn die so erhaltene Zahl durch 13 teilbar ist, dann auch die ursprüngliche. (Verfahren ggf. wiederholen)	13 \| 104, da 04 – 4·1 = 0 = ein Vielfaches von 13
13	Oder gleich die Ziffern von rechts nach links mit 1, −3, −4, −1, 3 bzw. 4 multiplizieren (bei mehr als 6 Stellen, dasselbe für die nächsten 6 Stellen wiederholen usw.) und alle Ergebnisse zusammenzählen. Wenn eine durch 13 teilbare Zahl rauskommt, ist auch die ursprüngliche Zahl durch 13 teilbar.	13 \| 123 890, da 1·0 − 3·9 − 4·8 − 1·3 + 3·2 + 4·1 = −52 = −4·13

Begründung

Teilbarkeit durch 3

Die Vielfachen von 3 sind:

3	6	9
12	15	18
21	24	27
30	33	36	39
	42	45	48
	...

Es ist zu sehen: Mit jedem Übertrag auf die Zehnersteller reduzieren sich die Einerstellen der Vielfachen um 1. ⇒ Wenn man für jeden vollen Zehner 1 zu den Einern dazuzählt, erhält man eine kleinere Zahl, ohne dass sich an der Teilbarkeit durch 3 etwas ändert.

Analog ist es bei Erhöhung der Hunderter- oder Tausenderstelle:

3	6	9
102	105	108
201	204	207
...
1002	1005	1008
2001	2004	2007
3000	3003	3006

Deswegen kann man einfach alle Ziffern zusammenzählen, um die Teilbarkeit durch 3 zu prüfen!

Teilbarkeit durch 7

Bei 7 ist es nicht so einfach. Aber man sieht, dass sich die letzten Stellen der Vielfachen mit jedem vollen Hunderter um 2 reduzieren:

7	14	21	...
105	112	119	...
203	210	217	...

Daher also die Regel, dass man für die Teilbarkeit durch 7 nur die letzten 2 Stellen betrachten muss, wenn man für jeden vollen Hunderter 2 dazuzählt. Dabei tut man nichts anderes, als für jeden vollen Hunderter 98 abzuziehen. 98 ist ein Vielfaches von 7, und wenn man Vielfache eines möglichen Teilers abzieht, ändert sich nichts an der Teilbarkeit durch diesen möglichen Teiler.

Allgemeines Prinzip

Um wie viel sich die Vielfachen verschieben, wenn die Zahl um 10, 100 etc. erhöht wird, sagt der Rest bei Teilung von 10, 100 etc. durch den zu prüfenden Teiler.

zu prüfender Teiler	Rest bei Division von
zu prüfender Teiler	10	100	1000	10 000	100 000	1 000 000	durch den zu prüfenden Teiler
2	0	0	0	0	0	0
3	1	1	1	1	1	1
4	2	0	0	0	0	0
5	0	0	0	0	0	0
6	4	4	4	4	4	4
7	3	2	6 = −1	4	5	1
8	2	4	0	0	0	0
9	1	1	1	1	1	1
10	0	0	0	0	0	0
11	10	1	10	1	10	1
12	10	4	4	4	4	4
13	10 = −3	9 = −4	12 = −1	3	4	1
	(Da es auf Vielfache des zu prüfenden Teilers nicht ankommt, kann man ihn vom Rest abziehen, um Zahlen mit kleinerem Absolutbetrag zu erhalten.)

Hier findet man die in der Teilbarkeitsregel der 13 angegebenen Zahlen wieder, und auch die Regeln für die anderen Teiler.

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Primzahlen

Seite erstellt am 17.11.2024 – letzte Änderung am 21.11.2024

Mathematik