Anzahl von Primzahlen
Es gibt unendlich viele Primzahlen. Das lässt sich leicht beweisen (Satz von Euklid):
- Wenn p1, p2, ..., pn eine vollständige Liste aller Primzahlen wäre,
- dann könnte p1·p2·...·pn + 1 kein Vielfaches irgendeiner Primzahl sein, denn für jede Primzahl pi ist p1·p2·...·pn ein Vielfaches, und das nächste Vielfache ist dann diese Zahl + pi (und die kleinste Primzahl ist 2).
- Folglich muss es eine Primzahl geben, die größer als alle in der Liste ist (entweder ist p1·p2·...·pn + 1 eine Primzahl oder Produkt von anderen Primzahlen als in der Liste), d. h. die Liste war nicht wirklich vollständig und kann nie vollständig sein.
Primzahlen in einem endlichen Bereich
Die Anzahl der Primzahlen ≤ x ist ungefähr gleich x/ln x (Primzahlsatz).
Daraus folgt:
- Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Zahl eine Primzahl ist, ist umgekehrt proportional zur Anzahl ihrer Ziffern (= zu ihrem Logarithmus).
- Der Prozentanteil von Primzahlen unter allen Zahlen geht (im Grenzwert für immer größere Bereiche) gegen 0. (Vgl. Zahlenbeispiele)
- Die n-
te Primzahl ist ungefähr n ln n. (Es gibt auch genauere, kompliziertere Formeln.) - Der Abstand zwischen 2 aufeinander folgenden Primzahlen ist im Mittel ln n.
Eine genauere Schätzung der Anzahl Primzahlen ≤ x ist der Flächeninhalt von 2 bis x unter der Kurve der Funktion 1/ln t (Integrallogarithmus).
Fehler
So weit man die Anzahl der Primzahlen berechnen kann, ist sie immer kleiner als die Schätzung mit dem Integrallogarithmus. Überraschenderweise bleibt das aber nicht so, wenn der zu schätzende Bereich immer größer wird:
- Die Schätzung wechselt unendlich oft von Überschätzung zu Unterschätzung und zurück (bewiesen von J. E. Littlewood 1914).
- Der erste Wechsel tritt spätestens in der Größenordnung 10316 auf (gezeigt von Carter Bays und Richard Hudson 2000). Vermutlich nicht früher
- Zwischen 6,627·10370 und 6,687·10370 gibt es min. 10180 aufeinander folgende Zahlen, für die der Integrallogarithmus die Anzahl der Primzahlen unterschätzt (gezeigt von Herman te Riele 1986).
Wie kann das sein, dass die Schätzung bei 10316 plötzlich zu klein wird? Einblicke dazu liefert eine Formel von Riemann, mit der der Fehler der Schätzung in unendlich viele Terme aufgeteilt werden kann. Einer der Terme dominiert bei weitem; die anderen sind komplexe Zahlen, die in scheinbar zufällige Richtungen zeigen und sich üblicherweise weitgehend aufheben. Selten kann es aber passieren, dass genügend von ihnen (mehrere hundert) annähernd in die gleiche Richtung zeigen und den dominierenden Term doch übertrumpfen.
Mein Fazit
Das Verhalten einer Funktion oder die Gültigkeit eines Satzes kann sich auch erst bei astronomisch großen Zahlen ändern!
