Mario Sedlak
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Anzahl von Primzahlen

Es gibt unendlich viele Primzahlen. Das lässt sich leicht beweisen (Satz von Euklid):

Primzahlen in einem endlichen Bereich

Die Anzahl der Primzahlen ≤ x ist ungefähr gleich x/ln x (Primzahlsatz).

Daraus folgt:

Eine genauere Schätzung der Anzahl Primzahlen ≤ x ist der Flächeninhalt von 2 bis x unter der Kurve der Funktion 1/ln t (Integrallogarithmus).

Fehler

So weit man die Anzahl der Primzahlen berechnen kann, ist sie immer kleiner als die Schätzung mit dem Integrallogarithmus. Überraschenderweise bleibt das aber nicht so, wenn der zu schätzende Bereich immer größer wird:

Wie kann das sein, dass die Schätzung bei 10316 plötzlich zu klein wird? Einblicke dazu liefert eine Formel von Riemann, mit der der Fehler der Schätzung in unendlich viele Terme aufgeteilt werden kann. Einer der Terme dominiert bei weitem; die anderen sind komplexe Zahlen, die in scheinbar zufällige Richtungen zeigen und sich üblicherweise weitgehend aufheben. Selten kann es aber passieren, dass genügend von ihnen (mehrere hundert) annähernd in die gleiche Richtung zeigen und den dominierenden Term doch übertrumpfen.

Mein Fazit

Das Verhalten einer Funktion oder die Gültigkeit eines Satzes kann sich auch erst bei astronomisch großen Zahlen ändern!

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Verteilung von Primzahlen

Seite erstellt am 25.3.2024 – letzte Änderung am 25.3.2024