Mario Sedlak
Mathematik
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Verteilung von Primzahlen

Noch Euler (1707–1783) glaubte, dass die Primzahlen völlig unregelmäßig verteilt sind.[1]

Für die ungefähre Anzahl von Primzahlen in einem bestimmten Zahlenbereich lässt sich aber doch eine Formel angeben (entdeckt von Legendre 1785 und Gauß 1792 „durch das umfangreiche Studium von Logarithmentafeln“[2]) – obwohl die Abstände zwischen benachbarten Primzahlen schwanken:

Lücken

Zum Beispiel:

Wann eine Lücke einer bestimmten Größe erstmals auftritt, unterliegt keiner bekannten Gesetzmäßigkeit. Man kann aber sagen:

Aussage Beispiele
  • Es gibt beliebig große Lücken zwischen aufeinander folgenden Primzahlen.
  • k! + 2, k! + 3, ... , k! + k [4]
  • analog für das kleinste gemeinsame Vielfache von 2, 3, ..., k statt k!
  • analog für Produkt aller Primzahlen ≤ k
  • Der Abstand zwischen 2 aufeinander folgenden Primzahlen ist im Mittel ln n (Folgerung aus dem Primzahlsatz).
  • Zwischen n3 und (n + 1)3 liegt wenigstens eine Primzahl (bewiesen von Albert Ingham 1937)
  • zwischen 33 = 27 und 43 = 64
  • zwischen 1003 = 1 000 000 und 1013 = 1 030 301 (= viel weniger als das Doppelte von 1 000 000)

Vermutungen

Aussage Beispiele
  • zwischen 32 = 9 und 42 = 16
  • zwischen 10002 = 1 000 000 und 10012 = 1 002 001
  • Jede gerade Zahl taucht unendlich oft als Primzahllücke auf (Vermutung von Polignac).

Häufungen

(relativ kleine Lücken)

Bezeichnung Beispiel
  • 2 Primzahlen im Abstand
2 Primzahlzwilling 11, 13
4 Primzahlencousin 13, 17
6 Sexy Primzahlzwilling 23, 29
  • 3 Primzahlen mit den Abständen
einmal 2 und einmal 4 Primzahldrilling 5, 7, 11
zweimal 6 Sexy Primzahldrilling 47, 53, 59
  • 4 Primzahlen mit den Abständen
2, 4 und 2 Primzahlvierling 11, 13, 17, 19
dreimal 6 Sexy Primzahlvierling 11, 17, 23, 29
  • 5 Primzahlen mit den Abständen
  • 2, 4, 2, 4 oder
  • 4, 2, 4, 2
Primzahlfünfling 11, 13, 17, 19, 23
viermal 6 Sexy Primzahlfünfling 5, 11, 17, 23, 29
Primzahltupel

Für keinen dieser Typen ist bewiesen, dass es unendlich viele davon gibt.

Es ist aber bekannt, dass die Summe der Kehrwerte aller Primzahlzwillinge konvergiert – im Gegensatz zur Summe der Kehrwerte aller Primzahlen, die divergiert.

Verteilung auf verschiedene Endziffern und dgl.

Aussage Beispiele
  • 1, 5, 9, 13, 17, 21, ...
  • 1, 11, 21, 31, 41, ...
  • 3, 13, 23, 33, 43, ...
  • 17, 117, 217, 317, ...
  • Es gibt „gleich viele“ Primzahlen mit den Endziffern 1, 3, 7 und 9.
  • Es gibt „gleich viele“ Primzahlen der Form 4k + 1 wie der Form 4k + 3. (Das heißt nicht, dass es in jedem endlichen Bereich annähernd gleich viele Primzahlen beider Formen gibt. Tatsächlich sind meist die Primzahlen der Form 4k + 1 in der Überzahl. Der prozentuelle Unterschied geht aber im Grenzwert gegen 0.)

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Arten von Primzahlen

Weblinks

Quellen

[1] Eberhard Zeidler (Hrsg.): Teubner-Taschenbuch der Mathematik. Stuttgart: Teubner, 1996, S. 723
[2] Eberhard Zeidler (Hrsg.): Teubner-Taschenbuch der Mathematik. Stuttgart: Teubner, 1996, S. 723
[3] Arnold Scholz, Bruno Schoeneberg: Einführung in die Zahlentheorie. Berlin: Walter de Gruyter, 2. Aufl. 1955, S. 26f.
[4] k! = 2·3·...·k ist ein Vielfaches jeder Zahl von 2 bis k. Daher ist k! + 2 = 2(3·4·...·k + 1) ein Vielfaches von 2, k! + 3 = 3(2·4·...·k + 1) ein Vielfaches von 3 usw.)

Seite erstellt am 25.3.2024 – letzte Änderung am 25.3.2024