Kontinuumshypothese

Die Menge der reellen Zahlen hat „gleich viele“ Elemente wie die Menge aller Teilmengen der natürlichen Zahlen, d. h. man kann jeder reellen Zahl eine Menge von natürlichen Zahlen zuordnen und umgekehrt, ohne eine Menge bzw. Zahl doppelt zu verwenden und ohne dass eine Menge oder Zahl übrig bleibt.

Die reellen Zahlen werden auch als „Kontinuum“ bezeichnet, und die Kontinuumshypothese ist nun die Vermutung:

Alle Teilmengen der reellen Zahlen sind entweder

endlich oder
haben „gleich viele“ Elemente wie die Menge der natürlichen Zahlen oder
haben „gleich viele“ Elemente wie die Menge aller reellen Zahlen.

D. h.:

Es gibt keine Menge, deren Elemente nicht mit den natürlichen Zahlen abgezählt werden können und die andererseits zu wenige Elemente hat, um jeder reellen Zahl ein anderes Element von ihr zuordnen zu können.

Oder präziser und kürzer mit Kardinalzahlen:

Die Menge der reellen Zahlen ist die zweitkleinste Art von unendlichen Mengen.

(|ℝ| = ℵ₁)

Es ist eines der überraschendsten Ergebnisse der Mathematik im 20. Jahrhundert, dass die Kontinuumshypothese unentscheidbar ist.^[1] D. h. sie ist mit den üblichen Axiomen der Mengenlehre (ZFC) weder beweisbar noch widerlegbar!

Vergangenheit

1877 stellte Georg Cantor die Kontinuumshypothese auf.
1900 reihte David Hilbert die Kontinuumshypothese an erster Stelle der wichtigsten ungelösten mathematischen Probleme.
1937–1940 zeigte Kurt Gödel, dass die Kontinuumshypothese nicht widerlegbar ist (indem er bewies, dass alle konstruierbaren Mengen zusammen die Mengenaxiome erfüllen und keine Menge darunter ist, die die Kontinuumshypothese verletzt).
1963 zeigte Paul Cohen, dass die Kontinuumshypothese nicht beweisbar sein kann (indem er zu den konstruierbaren Mengen weitere hinzufügte, sodass die Mengen immer noch die Mengenaxiome erfüllen, aber nun mit einer, die die Kontinuumshypothese verletzt).

Verallgemeinerungen

Name	Beschreibung	formal
Verallgemeinerte Kontinuumshypothese	Nicht nur zwischen der Menge der natürlichen Zahlen und der Menge der reellen Zahlen gibt es keine „Zwischenmenge“, sondern ebenso nicht zwischen einer beliebigen unendlichen Menge und der Menge ihrer Teilmengen.	\|`M`\| = ℵ_α ⇒ \|𝒫(`M`)\| = ℵ_α+1
Singuläre-Kardinalzahlen-Hypothese	Die Kontinuumshypothese gilt zumindest für überabzählbare Mengen, die nicht aus einer Menge mit kleinerer Kardinalität durch Übergang zur Menge mit der nächstgrößeren Kardinalität oder zur „Menge aller Teilmengen“ gebildet werden können, aber durch Vereinigung von Mengen kleinerer Kardinalität. (Die „Größe“ einer so charakterisierten Menge wird durch eine sog. singuläre Limeskardinalzahl beschrieben. Kleinstes Beispiel: ℵ_ω)	selbe Formel wie in voriger Zeile, aber nur für die genannten Mengen (mit singulärer Kardinalzahl)

Was man sagen kann

Die Kardinalität der reellen Zahlen kann beliebig groß sein (z. B. ℵ_ω₁ oder sogar eine unerreichbare Kardinalzahl^[2]).
Die reellen Zahlen haben jedoch nicht „gleich viele“ Elemente wie eine Menge, die aus abzählbar vielen Mengen kleinerer Kardinalität gebildet werden kann.^[3]
Für Mengen, die nicht aus einer Menge mit kleinerer Kardinalität durch Übergang zur Menge mit der nächstgrößeren Kardinalität oder zur „Menge aller Teilmengen“ gebildet werden können (= Mengen mit singulärer Limitkardinalzahl), gibt es gewisse Einschränkungen, was die Größe der Menge ihrer Teilmengen betrifft (z. B. |𝒫(ℵ_ω)| < ℵ_ω₄).^[4]
Die Kontinuumshypothese ist für alle „konstruierbaren“ (borelschen) Mengen beweisbar.
Wenn man das Axiom der projektiven Determiniertheit zu den Axiomen der Mengenlehre hinzufügt, dann gilt die Kontinuumshypothese für alle Mengen, die üblicherweise in der Mathematik auftreten (projektive Mengen).
Im Zusammenhang mit der Methode, mit der Cohen 1963 das erste Gegenbeispiel zur Kontinuumshypothese konstruiert hat (Erzwingungsmethode oder Forcing), kommt man auf mögliche neue Axiome. Alle Axiome, die in gewisser Weise „gut“ sind, ergeben, dass die reellen Zahlen eine Menge mit drittkleinster Unendlichkeit sind (d. h. |ℝ| = ℵ₂).^[5]
Die moderne Mengenlehre kennt mehrere Axiome, welche der mengentheoretischen Forschung natürlich entwachsen sind, welche plausibel sind und verschiedener Art von Rechtfertigung standhalten und welche die Mächtigkeit von ℝ entscheiden.^[6]
Axiome für große Kardinalzahlen können die Kontinuumshypothese nicht entscheiden.^[7]

Folgerungen

Die Kontinuumshypothese hat keinerlei Auswirkungen auf die Arithmetik.
Alles, was man über die natürlichen Zahlen mit der Kontinuumshypothese beweisen kann, geht auch ohne sie.
Die Kontinuumshypothese (oder ihr Gegenteil) hat auch sonst wenig interessante Konsequenzen. Deswegen fügt man sie nicht einfach als neues Axiom hinzu.

Meinungen