Unerreichbare Kardinalzahlen
Eine überabzählbare Menge mit der Kardinalität κ, die
- nicht als Vereinigung von weniger als κ vielen Mengen kleinerer Kardinalität gebildet werden kann und die
- auch nicht "gleich viele" Elemente wie die "Menge aller Teilmengen" einer Menge kleinerer Kardinalität hat
kann mit den gängigen Axiomen der Mengenlehre (ZFC2) nicht gebildet werden. Eine solche Menge wird unerreichbar genannt und ihre Mächtigkeit ist eine unerreichbare Kardinalzahl. Letztere gehört zu den großen Kardinalzahlen.
Viele Mathematiker scheinen zu glauben, dass mit "unbeweisbar in ZFC2" bereits alles gesagt ist, aber man kann 4 Fälle unterscheiden:
| Vergleich | ||
|---|---|---|
| 1) | Man kann eine Familie von Mengen konstruieren, deren Vereinigung eine unerreichbare Menge ergeben würde, wenn man diese Vereinigung bilden könnte. | die Menge der natürlichen Zahlen ohne Unendlichkeitsaxiom (Wenn unerreichbare Mengen nicht überabzählbar sein müssten, wäre eine abzählbare Menge unerreichbar, denn sie lässt sich nicht aus endlich vielen endlichen Mengen bilden.) |
| 2) | Irgendwo in der Hierarchie aller potenziell bildbaren Mengen (d. h. wenn alle Vereinigungen möglich wären) gibt es eine unerreichbare Menge, aber es ist unbekannt, wo genau. | eine sehr große natürliche Zahl mit einer exotischen Eigenschaft, z. B. eine Zahl n für die die Dezimaldarstellung von π an den Stellen n bis 2n lauter Nullen hat |
| 3) | In der gesamten Hierarchie aller potenziell bildbaren Mengen gibt es keine unerreichbare Menge, aber man kann die Existenz einer zusätzlichen Menge, die unerreichbar (und größer als alle bisher bildbaren) ist, annehmen. | Hinzufügen von ω zur Menge der natürlichen Zahlen (oder von "unendlich" zu den reellen Zahlen) |
| 4) | Die Annahme einer unerreichbaren Menge widerspricht der Mengenlehre ZFC2. | Annahme einer "größten natürlichen Zahl" |
Die Fälle 1 oder 2 wären der überzeugendste Hinweis darauf, dass es unerreichbare Kardinalzahlen gibt bzw. dass die Axiome der Mengenlehre erweitert werden sollten, um ihre Existenz zu ermöglichen. Leider habe ich nirgendwo einen Beweis oder auch nur eine Abschätzung in diese Richtung gesehen. Man kann zeigen,
- dass jede unerreichbare Kardinalzahl ein "Häufungspunkt" von Beth-
Fixpunkten ist[1] und - dass es für jede Kardinalzahl κ, die nicht mit weniger als κ vielen Mengen kleinerer Kardinalität gebildet werden kann, einen Beth-
Fixpunkt mit ebendieser Eigenschaft gibt (nämlich die Vereinigungsmenge der ersten κ Beth- Fixpunkte),[2]
aber es bleibt offen, ob es irgendwo in den Untiefen der Unendlichkeit eine Menge mit so einer Kardinalität κ gibt, die gleichzeitig der κ-
Fall 3 ist am wahrscheinlichsten. Als unerreichbare Menge kann man dann die Vereinigung aller in ZFC2 bildbaren Mengen nehmen.[3] (In der schwächeren Mengenlehre Z ist sogar schon ℵω unerreichbar. Seitdem ich das weiß, kann ich verstehen, wieso man der "Menge aller Mengen" nun doch einen Sinn zuweisen kann: Man muss mit dieser Menge weiterrechnen, so weit es geht.)
Der 4. Fall – dass es keine unerreichbaren Kardinalzahlen geben kann – gilt als sehr unwahrscheinlich:
Der Beweis, dass es keine unerreichbare Kardinalzahl gibt, wäre eine Sensation, die mit einem Beweis der Widersprüchlichkeit der üblichen Mengenlehre selbst fast gleichwertig wäre.
Varianten
- Wenn man in der Definition von "unerreichbar" statt der "Menge aller Teilmengen" die "Menge der nächstgrößeren Kardinalität" zur Bildung von Mengen zulässt, erhält man schwach unerreichbare Mengen bzw. Kardinalzahlen. Die, die ich genannt habe, werden dann als stark unerreichbar bezeichnet. Wenn die verallgemeinerte Kontinuumshypothese gilt, dann ist beides dasselbe und muss nicht unterschieden werden.
Wenn man in der Definition von "unerreichbar" nur definierbare Mengen zulässt (= Mengenlehre ZFC), erhält man weltliche Mengen bzw. Kardinalzahlen. Diese sind kleiner als (in ZFC2) unerreichbare, weil nur abzählbar viele Mengen definiert werden können.
Die weltlichen Kardinale können als eine Art "unerreichbare Kardinale des kleinen Mannes" erachtet werden.[4]
Jede unerreichbare Kardinalzahl κ ist Grenzwert (Vereinigungsmenge) von κ weltlichen Kardinalzahlen.[5]
Relevanz
Unerreichbare Kardinalzahlen erhalten ihre Bedeutung dadurch, dass sie Modelle für ZFC liefern.[6]
D. h. alle Teilmengen einer unerreichbaren Menge erfüllen zusammen die Axiome der Mengenlehre – und beweisen dadurch ihre Widerspruchsfreiheit. Und weil kein Axiomensystem so eines "Kalibers" seine eigene Widerspruchsfreiheit beweisen kann (Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitssatz), kann die Existenz von unerreichbaren Mengen bzw. Kardinalzahlen in ZFC2 nicht bewiesen werden (und auch nicht in ZFC oder einer noch schwächeren Mengenlehre).
Weiter
Weblinks
- "Cantors Dachboden": Inaccessible cardinal
- Englische Wikipedia: Inaccessible cardinal
Quellen
| [1] | im Diskussionsforum Mathematics Stack Exchange – Beweis, dass "schwach unerreichbar" äquivalent zu "regulärer Aleph-| [2]
| im Diskussionsforum Mathematics Stack Exchange – "If κ is regular, then the supremum of the first κ aleph fixed points is an aleph fixed point of cofinality κ."
| [3]
| Joan Bagaria: A Short Excursion to Cantor's Paradise (übersetzt aus dem Katalanischen) – "the axiom of existence of an inaccessible cardinal says that if the construction of V could be continued yet one more step beyond all ordinals, then the cardinal that would be obtained, which would be an inaccessible, exists."
| [4]
| Joel David Hamkins: Worldly cardinals are not always downwards absolute – "The worldly cardinals can be seen as a kind of poor- | [5]
| "Cantors Dachboden": Inaccessible cardinal – "The worldly cardinals are unbounded in κ"
| [6]
| Maximilian Ganster: Kardinalzahlen (PDF), Vorlesungsskriptum, S. 6
| |