Wozu große Kardinalzahlen?
Es gibt Aussagen, die in der üblichen Mengenlehre (ZFC2) weder bewiesen noch widerlegt werden können. Erstaunlicherweise kann jedoch i. A. eine große Kardinalzahl gefunden werden, deren Existenz logisch gleichwertig dazu ist, dass die unentscheidbare Aussage wahr ist.[1] D. h.:
Die großen Kardinalzahlaxiome ordnen die Welt der nicht innerhalb der üblichen Mathematik beweisbaren Aussagen.
Mittels der großen Kardinalzahlen lassen sich die Erweiterungen von ZFC2 linear ordnen.[2] D. h. 2 Erweiterungen sind entweder logisch gleichwertig oder eine folgt aus der anderen. Das gilt zumindest für „natürliche“ Aussagen, die sich bei üblicherweise praktizierter Mathematik ergeben und die in ZFC2 unentscheidbar sind (nicht für eigens konstruierte Gegenbeispiele). Ein mathematischer Grund, wieso das so sein muss, scheint bis dato nicht bekannt zu sein.
Beispiel
Die Erfahrung zeigt ...: Die typischen Fragen über alltägliche (also projektive) reelle Zahlenmengen sind gleichwertig zu Aussagen über die Mächtigkeit von Mengen, die zu groß für die ZFC-Mengenlehre sind. Man kann also große Kardinalzahlen dazu verwenden, die natürlichen Aussagen über projektive Mengen nach der Mächtigkeit der Kardinalzahlen zu ordnen. ... Natürlich kann man reelle Zahlenmengen definieren, die komplizierter als die projektiven Mengen sind. Auch bei diesen Mengen kann man zeigen, dass die Existenz von bestimmten unerreichbaren Kardinalzahlen gleichwertig zur Determiniertheit dieser Mengen ist ... Je komplizierter die Menge ist, umso größer müssen die geforderten Kardinalzahlen sein, um Determiniertheit sicherzustellen.
Eine Menge ist determiniert, wenn 2 „Spieler“ jeweils abwechselnd eine Stelle einer unendlichen Dezimalzahl nennen dürfen und entweder Spieler 1 erzwingen kann, dass die Zahl zu der vorgegebenen Menge gehört oder Spieler 2, dass sie nicht dazugehört. Für dieses „Spiel“ gilt:
Die Existenz von sehr großen Kardinalzahlen impliziert [d. h. es folgt daraus] die Existenz von Gewinnstrategien und gleichzeitig impliziert die Existenz von Gewinnstrategien auch die Existenz von sehr großen Kardinalzahlen
Grenzen
Die üblichen großen Kardinalzahlaxiome können nicht entscheiden, ob die Kontinuumshypothese gilt, aber alle unentscheidbaren Aussagen „kleinerer Komplexität“.[3]
Weiter
Quellen
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| [3] | Stanford Encyclopedia of Philosophy, Artikel The Continuum Hypothesis – „although the standard large cardinal axioms effectively settle all question[s] of complexity strictly below that of CH, they cannot (by results of Levy and Solovay and others) settle CH itself.“ |