Über mich		Themen		Artikel		Tipps & Tricks		Fotos

Mathematik

Wissenschaft

Hauptthemen

Wie wurden große Kardinalzahlen gefunden?

„Von unten“

Selbst wenn man gezielt immer größere Mengen untersucht, stößt man nicht zwangsläufig auf große Kardinalzahlen. Es ist nicht so – wie ich anfangs dachte –, dass sie sich ähnlich „aufdrängen“ wie unendliche Mengen, wenn man mit immer größeren endlichen Mengen arbeitet.

Der Vergleich stimmt allerdings insofern, als auch die unerreichbaren Mengen gefunden werden, indem man annimmt, dass man alle bildbaren Mengen zu einer neuen, größeren Menge vereinigen und dann damit weiterarbeiten kann. – Die Vereinigung aller in der endlichen Mengenlehre bildbaren Mengen ist unendlich, und die Vereinigung aller mit der üblichen Mengenlehre (ZFC₂) bildbaren Mengen ist (in ZFC₂) unerreichbar.

Wie immer gilt: Sobald wir eine Operation, die große Mengen produziert, beschrieben haben, gibt uns ebendiese Beschreibung eine Möglichkeit, jenseits der so erreichbaren Mengen zu springen.^[1]

So kann man, wenn man eine unerreichbare Menge definiert hat, eine weitere hinzufügen, indem man wieder alle bildbaren Mengen vereinigt. Dann noch eine unerreichbare und noch eine usw., aber erst wenn man genügend viele auf diese Weise bildbare Mengen vereinigt, erhält man die erste 1-unerreichbare. Diese ist „Häufungspunkt“ von unerreichbaren Mengen und kann daher nicht erreicht werden, wenn man von irgendeiner zur nächstgrößeren unerreichbaren wechselt.

Auf diese Art kommt man weiter zu den 2-unerreichbaren, hyper-unerreichbaren usw., aber nicht beliebig weit:

Mahlo sind jene Kardinalzahlen, wo jede Operation, die einer Kardinalzahl mit einer normalen (= stetigen und monoton ansteigenden) Funktion eine größere zuordnet, bereits an ein Ende gekommen ist.^[2] (Die Funktion wird wiederholt angewandt, bis keine neuen Kardinalzahlen erscheinen.^[3])

Mahlo-Kardinale ... sind in gewisser Weise die Grenze, mit einer Operation „von unten“ zu einem größeren Kardinal zu gelangen.^[4]

Zum Beispiel:

Es ist schwierig, sich eine Operation vorzustellen, die mit kleineren Kardinalen beginnt und das erste messbare Kardinal ergibt.^[5]

Verallgemeinerung von ℵ₀

Die kleinste unendliche Kardinalzahl hat einige besondere Eigenschaften.

Mathematiker fanden heraus, dass es nützlich ist, zu versuchen, die üblichen Eigenschaften von ℵ₀ in passender Weise zu verallgemeinern.^[6]

D. h. man betrachtet eine bekannte Eigenschaft von ℵ₀ und nimmt an, dass es eine größere Kardinalzahl mit einer vergleichbaren Eigenschaft gibt.^[7]

Beachte, dass nicht von vornherein garantiert ist, dass wir auf diese Art irgendetwas wie ein großes Kardinal erhalten; die Verallgemeinerung könnte sich als mathematisch trivial und uninteressant herausstellen. Die Tatsache, dass wir große Kardinale erhalten, scheint darauf hinzudeuten, dass diese Verallgemeinerungen mathematisch relevant sind.^[8]

Verallgemeinerte Eigenschaften von ℵ₀ sind aus den Bereichen:^[9]

Es gibt aber auch viele Eigenschaften von ℵ₀, die nicht verallgemeinerbar sind.^[10] Und es bleibt offen, ob die so definierten großen Kardinalzahlen zumindest im Prinzip auch „von unten“ erreichbar sind.^[11] (D. h. es könnte sein, dass sie in der „Menge aller Mengen“ nicht vorkommen.)

„Von oben“

Aussagen, die auf die „Menge aller Mengen“ zutreffen, gelten bereits für eine dieser bildbaren Mengen (Reflexionsprinzip). Indem man „starke“ Aussagen wählt, erhält man besonders große Kardinalzahlen.^[12]

Wie sich herausstellt, können viele große Kardinalzahlen auf ganz verschiedene Art definiert werden:^[13]

Eingebung

Es wird erzählt:

Vopěnkas Prinzip wurde ursprünglich von Vopěnka als Scherz eingeführt; Vopěnka war verärgert darüber, dass immer mehr Prinzipien zur Definition von großen Kardinalzahlen ersonnen wurden, und dachte sich selbst eines aus, das zunächst plausibel aussah, aber das er – wie er dachte – widerlegen kann. Doch die Widerlegung gelang ihm nicht, und heute sind Vopěnka-Kardinale sogar recht bedeutend in der Mengenlehre.^[14]

Meine Meinung

Es würde mich nicht wundern, wenn sich irgendwann herausstellt, dass es unendlich viele verschiedene „Arten“ von großen Kardinalzahlen gibt; vielleicht gibt es ab einer bestimmten Kardinalzahl sogar zwischen je 2 verschiedenen noch eine dritte Art ...

Weiter

Quellen

Seite erstellt am 4.11.2023 – letzte Änderung am 6.12.2024