Mario Sedlak
Mathematik
Wissenschaft
Hauptthemen

Wie wurden große Kardinalzahlen gefunden?

"Von unten"

Selbst wenn man gezielt immer größere Mengen untersucht, stößt man nicht zwangsläufig auf große Kardinalzahlen. Es ist nicht so – wie ich anfangs dachte –, dass sie sich ähnlich "aufdrängen" wie unendliche Mengen, wenn man mit immer größeren endlichen Mengen arbeitet.

Der Vergleich stimmt allerdings insofern, als auch die unerreichbaren Mengen gefunden werden, indem man annimmt, dass man alle bildbaren Mengen zu einer neuen, größeren Menge vereinigen und dann damit weiterarbeiten kann. – Die Vereinigung aller in der endlichen Mengenlehre bildbaren Mengen ist unendlich, und die Vereinigung aller mit der üblichen Mengenlehre (ZFC2) bildbaren Mengen ist (in ZFC2) unerreichbar.

Wie immer gilt: Sobald wir eine Operation, die große Mengen produziert, beschrieben haben, gibt uns ebendiese Beschreibung eine Möglichkeit, jenseits der so erreichbaren Mengen zu springen.[1]

So kann man, wenn man eine unerreichbare Menge definiert hat, eine weitere hinzufügen, indem man wieder alle bildbaren Mengen vereinigt. Dann noch eine unerreichbare und noch eine usw., aber erst wenn man genügend viele auf diese Weise bildbare Mengen vereinigt, erhält man die erste 1-unerreichbare. Diese ist "Häufungspunkt" von unerreichbaren Mengen und kann daher nicht erreicht werden, wenn man von irgendeiner zur nächstgrößeren unerreichbaren wechselt.

Auf diese Art kommt man weiter zu den 2-unerreichbaren, hyper-unerreichbaren usw., aber nicht beliebig weit:

Mahlo sind jene Kardinalzahlen, wo jede Operation, die einer Kardinalzahl mit einer normalen (= stetigen und monoton ansteigenden) Funktion eine größere zuordnet, bereits an ein Ende gekommen ist.[2] (Die Funktion wird wiederholt angewandt, bis keine neuen Kardinalzahlen erscheinen.[3])

Mahlo-Kardinale ... sind in gewisser Weise die Grenze, mit einer Operation "von unten" zu einem größeren Kardinal zu gelangen.[4]

Zum Beispiel:

Es ist schwierig, sich eine Operation vorzustellen, die mit kleineren Kardinalen beginnt und das erste messbare Kardinal ergibt.[5]

Verallgemeinerung von ℵ0

Die kleinste unendliche Kardinalzahl hat einige besondere Eigenschaften.

Mathematiker fanden heraus, dass es nützlich ist, zu versuchen, die üblichen Eigenschaften von ℵ0 in passender Weise zu verallgemeinern.[6]

D. h. man betrachtet eine bekannte Eigenschaft von ℵ0 und nimmt an, dass es eine größere Kardinalzahl mit einer vergleichbaren Eigenschaft gibt.[7]

Beachte, dass nicht von vornherein garantiert ist, dass wir auf diese Art irgendetwas wie ein großes Kardinal erhalten; die Verallgemeinerung könnte sich als mathematisch trivial und uninteressant herausstellen. Die Tatsache, dass wir große Kardinale erhalten, scheint darauf hinzudeuten, dass diese Verallgemeinerungen mathematisch relevant sind.[8]

Verallgemeinerte Eigenschaften von ℵ0 sind aus den Bereichen:[9]

Es gibt aber auch viele Eigenschaften von ℵ0, die nicht verallgemeinerbar sind.[10] Und es bleibt offen, ob die so definierten großen Kardinalzahlen zumindest im Prinzip auch "von unten" erreichbar sind.[11] (D. h. es könnte sein, dass sie in der "Menge aller Mengen" nicht vorkommen.)

Definition "von oben"

Aussagen, die auf die "Menge aller Mengen" zutreffen, gelten bereits für eine dieser bildbaren Mengen (Reflexionsprinzip). Indem man "starke" Aussagen wählt, erhält man besonders große Kardinalzahlen.[12]

Wie sich herausstellt, können viele große Kardinalzahlen auf ganz verschiedene Art definiert werden:[13]

Eingebung

Es wird erzählt:

Vopěnkas Prinzip wurde ursprünglich von Vopěnka als Scherz eingeführt; Vopěnka war verärgert darüber, dass immer mehr Prinzipien zur Definition von großen Kardinalzahlen ersonnen wurden, und dachte sich selbst eines aus, das zunächst plausibel aussah, aber das er – wie er dachte – widerlegen kann. Doch die Widerlegung gelang ihm nicht, und heute sind Vopěnka-Kardinale sogar recht bedeutend in der Mengenlehre.[14]

Meine Meinung

Es würde mich nicht wundern, wenn sich irgendwann herausstellt, dass es unendlich viele verschiedene "Arten" von großen Kardinalzahlen gibt; vielleicht gibt es ab einer bestimmten Kardinalzahl sogar zwischen je 2 verschiedenen noch eine dritte Art ...

Weiter

Wozu große Kardinalzahlen?

Quellen

[1] Mike Shulman: Large Sets 9.5, The n-Category Café – "as always, once we can describe an operation that produces large sets, that same description gives us a way to leap beyond it."
[2] Frank R. Drake: Set Theory. An Introduction to Large Cardinals. Amsterdam: North-Holland, 1974, S. 267 – "we can say roughly that the Mahlo cardinals are the ordinals where any process which can be described by a normal function has already run out."
[3] Frank R. Drake: Set Theory. An Introduction to Large Cardinals. Amsterdam: North-Holland, 1974, S. 186 – "taking some operation and repeating it until no further ordinals appear"
[4] Radek Honzik: Large cardinals and the Continuum Hypothesis (PDF), S. 5 – "Mahlo cardinals ... [are] in a sense a limit to the process of arriving to a large cardinal by a process 'from below'."
[5] Frank R. Drake: Set Theory. An Introduction to Large Cardinals. Amsterdam: North-Holland, 1974, S. 186 – "It is difficult to imagine a process which builds up from smaller ordinals to give the first measurable cardinal"
[6] Radek Honzik: Large cardinals and the Continuum Hypothesis (PDF), S. 5 – "Mathematicians found out that it is useful to

consider the usual properties of ω and try to generalize them in a suitable fashion."

[7] Frank R. Drake: Set Theory. An Introduction to Large Cardinals. Amsterdam: North-Holland, 1974, S. 315 – "take some known property of ω and postulate a cardinal κ > ω with a comparable property."
[8] Radek Honzik: Large cardinals and the Continuum Hypothesis (PDF), S. 6 – "Note that a priori there is no guarantee that we get anything like a large cardinal in this fashion; the generalization may turn out to be mathematically trivial and uninteresting. The fact that we do get large cardinals seems to indicate that these generalizations are mathematically relevant."
[9] Radek Honzik: Large cardinals and the Continuum Hypothesis (PDF), S. 9
[10] Frank R. Drake: Set Theory. An Introduction to Large Cardinals. Amsterdam: North-Holland, 1974, S. 315 – "many properties of ω are known which cannot be generalized."
[11] Frank R. Drake: Set Theory. An Introduction to Large Cardinals. Amsterdam: North-Holland, 1974, S. 318 – "even if we are convinced that strongly compact cardinals are consistent with ZFC, we have not answered the question whether they exist in the cumulative type structure"
[12]
  • Frank R. Drake: Set Theory. An Introduction to Large Cardinals. Amsterdam: North-Holland, 1974, S. 267f. – "using higher-order languages together with subsets of Vα, as parameters, we do get powerful ways of postulating large cardinals."
  • Stanford Encyclopedia of Philosophy, Artikel "Set Theory", Abschnitt "Large Cardinals" – "Much stronger large cardinal notions arise from considering strong reflection properties. ... By allowing reflection for more complex second-order, or even higher-order, sentences one obtains large cardinal notions stronger than weak compactness."
[13] Radek Honzik: Large cardinals and the Continuum Hypothesis (PDF), S. 16 – "many of these [large cardinals] can be defined in apparently disparate ways – using elementary embedding, satisfaction in various structures, or by partition properties."
[14] im Diskussionsforum Mathematics Stack Exchange – "Vopenka's principle was originally introduced by Vopenka as a joke; Vopenka was annoyed by the proliferation of large cardinal principles, and whipped one up that seemed plausible at first but which he thought he could prove inconsistent. But his inconsistency argument broke down, and now Vopenka cardinals are actually quite significant in set theory"

Seite erstellt am 4.11.2023 – letzte Änderung am 4.11.2023