Mario Sedlak
Mathematik
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Begriffe für große Kardinalzahlen

Wenn du näher in die Welt der großen Kardinalzahlen einsteigst, wirst du auf folgende Begriffe stoßen. Für einige gibt es eine intuitivere Vorstellung.

Definition (vereinfacht) Bemerkungen
Zu jeder Kardinalzahl κ gibt es eine nächstgrößere Kardinalzahl, genannt Nachfolgerkardinalzahl und geschrieben κ+
Eine Limeskardinalzahl ist keine Nachfolgerkardinalzahl, sondern nur durch Vereinigung von unendlich vielen kleineren Kardinalzahlen erreichbar.
Eine Kardinalzahl κ, die nicht als Vereinigung von weniger als κ vielen Mengen kleinerer Kardinalität gebildet werden kann, heißt regulär. Ist so eine Vereinigung möglich, heißt die Kardinalzahl κ singulär.

Anschaulichere Bezeichnungen wären schwer erreichbar (statt "regulär") bzw. leicht erreichbar (statt "singulär").

Die Benennung regulär/singulär scheint davon zu kommen, dass bei letzteren Sonderfälle auftreten können, die bei der mathematischen Analyse stören.[1] (In singulären Kardinalen gibt es "kleine" Teilmengen, die unbeschränkt sind.) Lange Zeit wurden die singulären Kardinalzahlen fälschlicherweise für weniger wichtig erachtet.[2]

Eine Familie von Mengen ist cofinal (auch kofinal oder konfinal) oder unbeschränkt im Kardinal κ, wenn deren Vereinigung gleich κ ist.

Die Kardinalität der kleinsten in κ kofinalen Familie ist die Cofinalität von κ, abgekürzt cf(κ).

Der Name kommt daher, dass diese Mengenfamilie das "gleiche Ziel" (con = mit, final = Ziel) wie das Kardinal κ hat.

Beachte, dass Kardinale als wohlgeordnete Mengen (Ordinale) betrachtet werden. Z. B. haben die reellen Zahlen, als wohlgeordnete Menge auffasst, keine unbeschränkte abzählbare Teilmenge, denn die Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen ist wieder abzählbar, also nicht gleich den reellen Zahlen, die überabzählbar sind. (In der üblichen Ordnung sind die ganzen Zahlen hingegen eine unbeschränkte Teilmenge der reellen Zahlen.)

Eine club-Menge (im Kardinal κ oder in der Klasse aller Kardinalzahlen) ist abgeschlossen (closed), d. h. sie enthält alle ihre Häufungspunkte, und unbeschränkt. Club-Mengen sind "sehr groß".[3]
Eine Menge heißt stationär (im Kardinal κ oder in der Klasse aller Kardinalzahlen), wenn sie mit jeder club-Menge min. ein Element gemeinsam hat. Stationäre Mengen sind "groß".[4]
Eine Funktion ist normal, wenn sie stetig ist (d. h. lim f(α) = f(lim α)) und streng monoton wächst. Normal sind z. B. die Aleph- und Beth-Funktion. Normale Funktionen haben Fixpunkte, die in der Klasse aller Kardinale club sind.

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Kontinuumshypothese

Quellen

[1] Achim Blumensath: Set Theory (PDF), S. 134 – Regular Cardinals "behave in a sane way while, for other cardinals, we might have to deal with pathological cases."
[2] Menachem Kojman: Singular Cardinals: from Hausdorff's Gaps to Shelah's pcf theory (PDF), S. 6 – "Hausdorff's division of cardinals to 'regular' and 'singular' suggested that regular cardinals were the objects that deserved serious attention, and that the singulars were less important. This view was sustained for a surprisingly long time."
[3] Achim Blumensath: Set Theory (PDF), S. 144
[4] Achim Blumensath: Set Theory (PDF), S. 144

Seite erstellt am 6.11.2023 – letzte Änderung am 6.11.2023