Transitive Menge

Eine Menge wird transitiv genannt, wenn alle Elemente ihrer Elemente (die Mengen sind) direkt in ihr selbst enthalten sind (formal: A ist eine transitive Menge, wenn aus y ∈ x und x ∈ A folgt, dass y ∈ A ist).

Beispiele

	konkret
Wenn jede natürliche Zahl (wie üblich) als Menge aller kleineren natürlichen Zahlen definiert wird, ist jede natürliche Zahl eine transitive Menge.	0 = ∅ 1 = {0} 2 = {0, 1} 3 = {0, 1, 2} ... `n` = {0, 1, 2, ..., `n` – 1}
Üblicherweise werden auch Ordinalzahlen als Menge aller kleineren Ordinalzahlen definiert und daher ist jede Ordinalzahl ebenso eine transitive Menge.	ω = {0, 1, 2, ...} = ℕ ω + 1 = {0, 1, 2, ..., ω} ...
Die Menge aller Teilmengen (Potenzmenge) einer transitiven Menge ist transitiv.	𝒫(2) = {0, {0}, {1}, {0, 1}} 𝒫(ℕ)
Beispiele für endliche Mengen, die keine Zahlen sind (aber mit Zahlen aufgeschrieben sind, weil das übersichtlicher ist)	{0, 1, {1}} {0, 1, {1}, {{1}}} {0, 1, {1}, {0, {1}}} {0, 1, {1}, 2, {2}} mehr in der englischen Wikipedia
innere Modelle der Mengenlehre (Genau da werden transitive Mengen hauptsächlich betrachtet.^[1])	Mengenuniversum (`V`) Menge aller erblich endlichen Mengen (`V`_ω) = Modell für eine endliche Mengenlehre

Eigenschaften

Die Vereinigung von transitiven Mengen ist transitiv.
Der Durchschnitt von transitiven Mengen ist transitiv.
Alle Elemente einer transitiven Menge sind zugleich Teilmengen von ihr.
Daher ist auch die Vereinigung aller Elemente einer transitiven Menge eine Teilmenge von ihr, und sie ist ebenfalls transitiv.
Jede Menge ist Teil einer transitiven Menge. Oder anders gesagt: Jede Menge lässt sich zu einer transitiven Menge ergänzen. Siehe transitive Hülle einer Menge

Allgemeinere Begriffe

	Beschreibung	Beispiel
transitive Klasse	Auch echte Klassen können transitiv sein, also alle Elemente ihrer Elemente enthalten.	echte Klasse der Ordinalzahlen

Speziellere Begriffe

	Beschreibung	Beispiel
erblich transitive Menge	eine transitive Menge, deren Elemente alle selbst eine transitive Menge sind	jede Ordinalzahl (Und umgekehrt ist jede erblich transitive Menge eine Ordinalzahl! Es gibt also keine weiteren Beispiele.)
supertransitive Menge	eine transitive Menge, die für jedes ihrer Elemente auch deren Potenzmenge enthält	Menge aller erblich endlichen Mengen

Weiter

Schreibweise von mathematischen Ausdrücken

Quellen

[1]	englische Wikipedia, Artikel „Transitive set“, Abschnitt „Transitive models of set theory“ – „Transitive classes are often used for construction of interpretations of set theory in itself, usually called inner models.“

Seite erstellt am 24.9.2025 – letzte Änderung am 5.10.2025

Mathematik

Siehe auch

Wissenschaft

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