Determiniertheitsaxiom
(Abkürzung: AD)
Eine seit 1962 untersuchte mögliche Grundannahme der Mengenlehre lautet:
Alle Teilmengen von ℝ sind determiniert.
Das bedeutet, dass es keine unmessbaren oder sonst irgendwie „wilden“ (unerwünschten) Mengen reeller Zahlen gibt. Die Mengenlehre ZF + AD ist somit eine Alternative zur üblichen Mengenlehre ZFC. Sie hat ein kleineres „Mengenuniversum“.
Zusammenhang mit anderen Axiomen
Wenn das Determiniertheitsaxiom gilt:
- kann das Auswahlaxiom nicht wahr sein (denn aus dem Auswahlaxiom folgt die Existenz all der „wilden“ Mengen, die das Determiniertheitsaxiom ausschließt)
- gilt auch das abzählbare Auswahlaxiom (eine schwächere Variante des Auswahlaxioms) für Teilmengen der reellen Zahlen (CC(ℝ))[1]
- kann auch das Axiom der abhängigen Auswahl (DC) gelten[2] – Man kann dieses Axiom also zusätzlich annehmen (Mengenlehre ZF + AD + DC). Dadurch bleiben die meisten Eigenschaften von reellen Zahlen und reellen Funktionen (Analysis, Maßtheorie) erhalten.[3]
Widerspruchsfreiheit
- ZF + AD ist genau dann widerspruchsfrei, wenn ZFC mit der Annahme, dass es unendlich viele Woodin-
Kardinalzahlen gibt, widerspruchsfrei ist.[4] - ZF + AD + DC ist genau dann widerspruchsfrei, wenn ZF + AD widerspruchsfrei ist. (D. h. es können keine Widersprüche hinzukommen, wenn man zusätzlich zu AD auch DC annimmt. Deswegen wird üblicherweise in ZF + AD + DC anstatt in ZF + AD gearbeitet.)[5]
Anwendungsbeispiel
In einer Doktorarbeit über Berechenbarkeit heißt es:
Wir wollten das Auswahlaxiom vermeiden, um künstliche Gegenbeispiele loszuwerden.[6]
Der wichtigste Grund, AD ... anzunehmen, ist rein pragmatisch. Das Determiniertheitsaxiom bietet dem Berechenbarkeits-Theoretiker leistungsfähige Werkzeuge.[7]
Weiter
Weblinks
- englische Wikipedia, Wadge hierarchy – Eine Klassifizierung von Teilmengen der reellen Zahlen nach aufsteigender Komplexität, die nur mit Determiniertheitsaxiom viel Sinn macht[8]
- Stanford Encyclopedia of Philosophy, Large Cardinals and Determinacy – Ausführlich über die Geschichte des Determiniertheitsaxioms, seine Zusammenhänge mit großen Kardinalzahlen und Anwendung auf überabzählbare Mengen
Quellen
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| [2] | Stefan Bold: AD und Superkompaktheit (PDF), Diplomarbeit, S. 35 (im PDF S. 41) – „Allerdings impliziert AD nicht DC, Solovay zeigte 1978, wenn ZF + AD konsistent ist, so ist auch ZF + AD + ¬DC konsistent“. |
| [3] |
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| [4] | Horst Herrlich: Axiom of Choice (PDF). Berlin: Springer, 2006, S. 150 (im PDF S. 161) |
| [5] |
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| [6] | Patrick Lutz: Results on Martin’s Conjecture (PDF), Dissertation, 2021, S. 9 (im PDF S. 10) – „we wanted to avoid the Axiom of Choice to get rid of artificial counterexamples“ |
| [7] | Patrick Lutz: Results on Martin’s Conjecture (PDF), Dissertation, 2021, S. 10 (im PDF S. 10) – „The biggest reason to assume AD ... is purely pragmatic. The Axiom of Determinacy provides powerful tools to a computability theorist“ |
| [8] | Yurii Khomskii: Infinite Games (PDF), S. 44 (im PDF S. 46) – „Without determinacy, not much ... can be said about the Wadge order. However, if we limit our attention on sets in a pointclass Γ satisfying Det(Γ), the picture changes entirely and a rich structure of the Wadge degrees emerges.“ |