Mario Sedlak
Determiniertheits-
axiom
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Varianten des Determiniertheitsaxioms

Original

Axiom Abk. Beschreibung Bemerkung
Determiniertheitsaxiom AD Alle Teilmengen von ℝ sind determiniert. Widerspricht Auswahlaxiom.

Eingeschränkt auf definierbare Mengen

Diese Axiome sind mit dem Auswahlaxiom vermutlich verträglich.

Axiom Abk. Beschreibung (vereinfacht) Bemerkungen
Axiom der projektiven Determiniertheit PD Alle projektiven Teilmengen von ℝ sind determiniert.
  • Folgt aus der Existenz unendlich vieler Woodin-Kardinalzahlen.
  • Damit lassen sich praktisch alle Fragen über projektive Mengen beantworten.[1]
Axiom der quasiprojektiven Determiniertheit[2] QPD Alle explizit konstruierbaren Teilmengen von ℝ (d. h. Mengen, die ohne Benutzung des Auswahlaxioms definiert werden können) sind determiniert.
  • ADL(ℝ) ist in Bezug auf Fragen zu den explizit konstruierbaren Teilmengen von ℝ (L(ℝ)) „effektiv vollständig“.[3]
  • QPD eignet sich besser als PD für ein Axiom der Mengenlehre, da die projektiven Mengen nur die zweiten in einer Folge von Hierarchien sind.[4]
ADL(ℝ)
Axiom der Turing-Determiniertheit TD Die Menge aller berechenbaren reellen Zahlen ist determiniert (und auch die Menge aller mit einem Orakel berechenbaren reellen Zahlen ist determiniert – für alle Orakel, d. h. für jede Äquivalenzklasse des Turinggrads). Unter TD gilt das abzählbare Auswahlaxiom für Mengen reeller Zahlen (CC(ℝ)).[5]

(Möglicherweise) stärkere Varianten

Axiom Abk. Beschreibung (vereinfacht) Bemerkungen
Axiom der reellen Determiniertheit ADℝ Alle Spiele, bei denen die „Spieler“ reelle (anstatt, wie unter AD, natürliche) Zahlen spielen, sind determiniert.
„Halb ADℝ“ AD1/2ℝ Alle Spiele, bei denen ein „Spieler“ reelle und der andere natürliche Zahlen spielt, sind determiniert. Solche Spiele ergeben sich in Anwendungen öfter als Spiele, bei denen beide „Spieler“ reelle Zahlen nennen dürfen.
Ordinal-Determiniertheit OrdDet Spiele, bei denen die „Spieler“ Ordinalzahlen spielen, sind determiniert, sofern nur Ordinalzahlen bis zu einem festen Maximum, auf das sich die reellen Zahlen noch surjektiv abbilden lassen, zugelassen werden und die Gewinnmenge stetiges Urbild einer Teilmenge von ℝ ist.[8] Man kann nicht ohne Einschränkung alle Mengen von Ordinalzahlen zulassen, denn sonst könnte man über ein Spiel, wo eine beliebige Ordinalzahl „nachgebaut“ werden soll, eine Einbettung von ω1 in ℝ gewinnen. Aus Ordinal-Determiniertheit folgt AD, und da kann es keine überabzählbare wohlgeordnete Teilmenge von ℝ geben.[9]
eine Erweiterung von AD, die von W. Hugh Woodin vorgeschlagen wurde AD+

Zusätzlich zu AD wird angenommen:

  • Axiom der abhängigen Auswahl für Mengen reeller Zahlen (DC(ℝ))
  • Ordinal-Determiniertheit
  • Alle Teilmengen der reellen Zahlen können mittels – möglicherweise überabzählbar vielen – Durchschnitten und Vereinigungen aus Intervallen erhalten werden (fachsprachlich: sie sind ∞Borel; das ist eine transfinite Verallgemeinerung von Borelmengen).
  • Kann in L(ℝ) gelten (und wenn AD gilt[10] oder wenn es hinreichend große Kardinalzahlen gibt, dann muss AD+ in diesem Universum gelten).[11]
  • AD+ wurde eingeführt, um Ergebnisse, die für L(ℝ) erhalten wurden, und Ergebnisse, die mit ADℝ erhalten wurden (was in L(ℝ) nicht gilt), zu vereinheitlichen.[12] AD+ eignet sich z. B. für Modelle der Form L(𝒫(ℝ)).[13]

Weitere mögliche und unmögliche Verallgemeinerungen

Noch größere „Spielmengen“

Statt dass die „Spieler“ abwechselnd natürliche bzw. reelle Zahlen nennen (AD bzw. ADℝ), könnten wir ihnen auch erlauben, Teilmengen der reellen Zahlen zu wählen (AD𝒫(ℝ)). Es können aber nicht alle solchen Spiele determiniert sein, weil sich über ein geeignet gewähltes derartiges Spiel eine Auswahlfunktion definieren lässt, wodurch dann ℝ wohlgeordnet werden kann und so nicht-determinierte Mengen entstehen.[14]

Ebenso gibt es nicht-determinierte Spiele, bei denen Teilmengen von ω1 gespielt werden (ADω1). Es können aber alle definierbaren Spiele mit diesen Teilmengen determiniert sein.[15]

Längere Spiele

Statt dass die „Spieler“ eine abzählbare Folge produzieren, können wir auch erlauben, dass ihre Züge eine überabzählbare Menge bilden (die wohlgeordnet sein muss, damit die „Spieler“ abwechselnd einen Zug machen können – transfinite Induktion). Jedoch kann man zeigen, dass bereits Spiele der Länge ω1 nicht alle determiniert sein können. Andererseits gibt es bestimmte Typen von Spielen der Länge ω1, deren Determiniertheit man annehmen darf (bzw. muss, wenn man die Existenz bestimmter großer Kardinalzahlen annimmt).[16]

Weiter

Determinierte Mengen

Quellen

[1] Stanford Encyclopedia of Philosophy, Artikel „Set Theory“, Abschnitt „Descriptive Set Theory“ – „PD settles essentially all questions about the projective sets.“
[2] Penelope Maddy: Believing the Axioms, part II (PDF), The Journal of Symbolic Logic, 1988, S. 737 (im PDF S. 3) – „Solovay uses the term ,quasiprojective‘ for the sets of reals in L[R]“.
[3] Stanford Encyclopedia of Philosophy, Artikel „Large Cardinals and Determinacy“, Abschnitt „Generic Absoluteness“ – „ADL(ℝ) appears to be ,effectively complete‘ with regard to questions concerning L(ℝ).“
[4] Penelope Maddy: Believing the Axioms, part II (PDF), The Journal of Symbolic Logic, 1988, S. 737 (im PDF S. 3) – „QPD is the better axiom candidate because the projective hierarchy is only the second of a series of hierarchies“.
[5] Patrick Lutz: Results on Martin’s Conjecture (PDF), Dissertation, 2021, S. 13 (im PDF S. 22), Fußnote 4 – „TD implies CCℝ“.
[6] Patrick Lutz: Results on Martin’s Conjecture (PDF), Dissertation, 2021, S. 13 (im PDF S. 22) – „Woodin and Martin have shown that ZF+AD+DCℝ+Uniformizationℝ is equivalent to a certain strengthening of AD, known as ADℝ (as in logically equivalent, not just equiconsistent)“.
[7] Patrick Lutz: Results on Martin’s Conjecture (PDF), Dissertation, 2021, S. 14 (im PDF S. 23) – „ADℝ cannot hold in L(R)“.
[8] William Chan, Stephan Jackson und Nam Trang: The Size of the Class of Countable Sequences of Ordinals (PDF), S. 2 – „Ordinal Determinacy ... is the statements that for every λ < Θ, X ⊆ ℝ, and continuous function π : ωλ → ℝ, the two player game on λ with payoff set π−1(X) is determined.“
[9] Andrés Eduardo Caicedo und Richard Ketchersid: A trichotomy theorem in natural models of AD+ (PDF), S. 239 (im PDF S. 13)
[10] Paul B. Larson: An Introduction to AD+ (PDF), S. 9 – „the implication AD ⇒ AD+ is known to hold in L(ℝ)“.
[11] Patrick Lutz: Results on Martin’s Conjecture (PDF), Dissertation, 2021, S. 14 (im PDF S. 23) „sufficiently large cardinals imply that AD+ does hold in L(ℝ).“
[12] Andrés E. Caicedo auf StackExchange – „The first wave of results under determinacy focused on its consequences for the model L(ℝ). ... [Later:] Many results began to appear not confined to L(ℝ) but instead under the assumption of ADℝ ... This version fails in L(ℝ) ... Trying to reconcile these two lines of argument, it became apparent that in many cases rather than ADℝ, what was really being used was ... AD+.“
[13] Stanford Encyclopedia of Philosophy, Artikel „Large Cardinals and Determinacy“, Abschnitt „Beyond L(ℝ)“ – „Here AD+ is a (potential) strengthening of AD designed for models of the form L(𝒫(ℝ))“.
[14] Joel David Hamkins auf StackExchange – „in ZF we can prove that AD𝒫(ℝ) fails.“ (Beweis siehe dort)
[15] Paul B. Larson: An Introduction to AD+ (PDF), S. 9 – „ZF implies the existence of a nondetermined game on ω1ω (i.e., ADω1 is false ... [However,] Woodin has shown that in fact determinacy can hold for all definable games on ω1.“
[16] Sandra Müller: Determinacy Axioms and Large Cardinals (PDF), S. 5 – „it was already shown by Mycielski in 1964 that determinacy for all games of length ω1 is inconsistent with Zermelo-Fraenkel set theory (ZF). Nevertheless, there are subclasses of games of length ω1 that are still known to be determined under large cardinal assumptions.“

Seite erstellt am 29.8.2025 – letzte Änderung am 29.8.2025