Fundierungsaxiom

Folgende Mengen braucht man nicht und möchte man nicht:

	Beispiel	Bezeichnung
Mengen, die sich selbst enthalten	`A` = {`A`}	zirkuläre oder zirkelhafte Mengen	nicht fundierte Mengen
Mengen, die einander gegenseitig enthalten (unmittelbar oder über „dazwischengeschaltete“ Mengen).	`A` = {`B`} und `B` = {`A`} `A`₁ = {`A`₂} `A`₂ = {`A`₃} `A`₃ = {`A`₄} ... `A_n` = {`A`₁}	zirkuläre oder zirkelhafte Mengen
Mengen, die eine Menge enthalten, die wieder eine Menge enthält und die wieder eine usw. ohne Ende (unendlich absteigende Kette).	`A`₁ = {`A`₂} `A`₂ = {`A`₃} `A`₃ = {`A`₄} ...

Mengentheoretiker möchten vielmehr:

alle Mengen schrittweise (transfinit) „durchgehen“, um für sie alle etwas zu beweisen (Epsilon-Induktion).
dass alle Mengen ausgehend von der leeren Menge mit den anderen Mengenaxiomen gebildet werden können (Von-Neumann-Hierarchie).

Beides ist nur möglich, wenn es die oben genannten unerwünschten Mengen nicht gibt. Um das zu erreichen, ist das Fundierungsaxiom (auch Regularitätsaxiom genannt) eine elegante Formulierung:

Jede nicht leere Menge A enthält ein Element x, das mit A kein Element gemeinsam hat (d. h. A ∩ x = ∅).

Beweis

Die Menge A = {A} hat nur ein einziges Element, nämlich sich selber. A ∩ A = A, also nicht leer, wie es das Fundierungsaxiom vorschreibt. Deswegen kann es diese Menge nicht geben, wenn man das Fundierungsaxiom annimmt.
Ist A = {A₁, A₂, A₃, ...} mit A₁ = {A₂}, A₂ = {A₃}, A₃ = {A₄}, ... (egal, ob bis n oder ohne Ende), dann hat jedes Element nicht leeren Schnitt mit A:
A ∩ A₁ = {A₁, A₂, A₃, ...} ∩ {A₂} = A₂
A ∩ A₂ = {A₁, A₂, A₃, ...} ∩ {A₃} = A₃
A ∩ A₃ = {A₁, A₂, A₃, ...} ∩ {A₄} = A₄
...
Angenommen, man könnte nicht alle Mengen schrittweise durchgehen, um etwas für sie alle zu beweisen, d. h. es bleibt z. B. die Menge X₀ übrig. Diese Menge kann nicht leer sein, muss also ein Element X₁ enthalten. Diese Menge X₁ kann ebenfalls nicht leer sein und kann nicht zu den „schrittweise durchgehbaren“ Mengen gehören. Und deren Element X₂ ebenso nicht usw. Dann gäbe es aber eine unendlich absteigende Kette, was (siehe vorigen Aufzählungspunkt) dem Fundierungsaxiom widerspricht (genauerer Beweis im nLab-Wiki^[1]).
Um zu beweisen, dass alle Mengen ausgehend von der leeren Menge mit den anderen Mengenaxiomen gebildet werden können, betrachtet man für eine beliebige (transitive oder transitiv gemachte) Menge deren Teilmengen, die nicht so gebildet werden können, zusammengefasst in der Menge U. Aufgrund des Fundierungsaxioms hat U ein Element W, deren Elemente allesamt nicht zu U gehören (U ∩ W = ∅), also sehr wohl ausgehend von der leeren Menge mit den anderen Mengenaxiomen gebildet werden können. Dann ist aber auch die Menge dieser Elemente (= W) so bildbar, dürfte also gar nicht zu U gehören – Widerspruch! Also muss U leer sein, d. h. alle Mengen können ausgehend von der leeren Menge mit den anderen Mengenaxiomen gebildet werden (ausführlicherer Beweis in der englischen Wikipedia).

Alternativen

Eigentlich könnte man auch das, was man eigentlich will, als Axiom aufnehmen (Epsilon-Induktion als Axiomenschema, Beschränktheitsaxiom). Das wäre dann schneller verständlich als die Formulierung mit Elementen, die nichts mit der Menge, der sie angehören, gemeinsam haben. Der Sinn dieser Formulierung ist nicht sofort erkennbar, aber sie hat den Vorteil, dass sie formal einfacher ist. Sie enthält keine komplizierteren Konzepte, nicht einmal Unendlich.^[2]

Weitere Folgerungen

Jede Menge hat ein ∈-minimales Element (nämlich das x mit A ∩ x = ∅).
Transfinite Induktion ist auch für wohlgeordnete echte Klassen möglich, z. B. für Paare von Ordinalzahlen.^[3]

Weiter

Argumente pro und contra Fundierungsaxiom

Quellen

[1]	nLab-Wiki, Artikel „Axiom of foundation“, Abschnitt „2. Alternative formulations“ – „Lemma 2.1. The axiom of foundation holds if ... there exists no infinite descending sequence“
[2]	nLab-Wiki, Artikel „Axiom of foundation“, Abschnitt „2. Alternative formulations“ – „This version is favoured by classical set theorists as a statement of the axiom, since it uses neither higher-order reasing ... or infinity“. Wikipedia, Artikel Fundierungsaxiom, Abschnitt Vorgeschichte – „Die erste korrekte Formel, die den Ausschluss extraordinärer Mengen erreichte, gab Neumann 1925 in seinem Beschränktheitsaxiom an, das aber komplizierter ist als das verbreitete Fundierungsaxiom von Zermelo.“
[3]	englische Wikipedia, Artikel „Axiom of regularity“ – „regularity ... not only allows induction to be done on well-ordered sets but also on proper classes that are well-founded relational structures such as the lexicographical ordering on {(`n`, `α`) \| `n` ∈ ω ∧ `α` is an ordinal }.“

Seite erstellt am 21.9.2025 – letzte Änderung am 24.9.2025

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