Mario Sedlak
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Argumente pro und contra Fundierungsaxiom

Das Fundierungsaxiom der ZF-Mengenlehre, welches z. B. Mengen A = {A} ausschließt, ist nicht wirklich umstritten. Die Argumente verdeutlichen aber, wieso dieses Axiom eingeführt wurde.

Pro Fundierungsaxiom Contra Fundierungsaxiom
  • In der Mengenlehre und in der sonstigen Mathematik werden ausschließlich fundierte Mengen benötigt.[1]
  • Das Fundierungsaxiom vereinfacht die Theorie der Mengen und erleichtert das Verständnis aller möglichen Mengen.[2]
  • Fundierte Mengen entsprechen dem intuitiven Verständnis, wonach zuerst die Elemente und dann die aus ihnen gebildete Menge vorhanden sind.[3]
In der meisten Mathematik wird auch das Fundierungsaxiom nicht benötigt.[4]
  • Das Fundierungsaxiom wurde tatsächlich früher oft weggelassen, aber die Mengenlehre hat dann nicht mehr so eine einfache intuitive Grundlage.[5]
  • Alles, was man mit nicht fundierten Mengen machen kann, lässt sich auch mit geeignet definierten fundierten Mengen machen. Man verliert also nichts, wenn man sich auf fundierte Mengen beschränkt (und wir wollen uns ja nicht beschränken).[6]
Zirkuläre Mengen sind gut, um Zyklen zu modellieren. Es gibt Mengenlehren, die solche nicht fundierten Mengen erlauben, und das scheint auf keinen Widerspruch zu führen.[7]

Fazit

Der Sinn des Fundierungsaxiom ist es ..., innerhalb der Mengenlehre ein angenehmes Bild des Universums, der Klasse aller Mengen, zu liefern.[8]

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Ersetzungsaxiom(schema)

Quellen

[1] Penelope Maddy: Believing the Axioms, part I (PDF), The Journal of Symbolic Logic, 1988, S. 484 (im PDF S. 5) – „no field of set theory or mathematics is in any general need of sets which are not well-founded. ... Zermelo included it ... because it was satisfied in all known applications of set theory“.
[2] Penelope Maddy: Believing the Axioms, part I (PDF), The Journal of Symbolic Logic, 1988, S. 484 (im PDF S. 5) – „Zermelo included it ... because it gives a useful understanding of the universe of sets.“
[3]

Frank R. Drake: Set Theory. An Introduction to Large Cardinals. Amsterdam: North-Holland, 1974

  • S. 8 – „members of a set must have occurred at lower levels“
  • S. 13 – „it seems to be difficult to give any intuitive meaning to such ,strange‘, not well-founded sets.“
[4] englische Wikipedia, Artikel „Axiom of regularity“, Abschnitt „Regularity in ordinary mathematics“ – „The axiom of regularity is rarely useful outside of set theory; A. A. Fraenkel, Y. Bar-Hillel and A. Levy noted that ,its omission will not incapacitate any field of mathematics‘.“
[5] Frank R. Drake: Set Theory. An Introduction to Large Cardinals. Amsterdam: North-Holland, 1974, S. 13 – „Perhaps one reason for omitting this axiom has been the historical fact that most of mathematics can be developed without using this axiom, but the system then loses its simple intuitive basis.“
[6] Andrés E. Caicedo im Diskussionsforum StackExchange – „everything of interest has a well-founded ,surrogate‘ ..., so there is no loss here (this is important, if you take seriously the idea of maximizing expressive power).“
[7] englische Wikipedia, Artikel „Circular definition“, Abschnitt „Mathematical theory“ – „A branch of mathematics called non well-founded set theory allows for the construction of circular sets. Circular sets are good for modelling cycles and, despite the field’s name, this area of mathematics is well founded.“
[8] Stefan Geschke: Modelle der Mengenlehre (PDF), S. 3

Seite erstellt am 21.9.2025 – letzte Änderung am 21.9.2025