Siehe auch
Unendliche Mengen
Unendliche Mengen haben unendlich viele Elemente. D. h. wenn man versucht, ihre Elemente zu zählen, wird man nie fertig.
Arten
Unendliche Mengen sind nicht alle „gleich groß“ (gleich mächtig). Man unterscheidet:
| Beispiele | |
|---|---|
| ℕ, ℤ, ℚ |
| ℝ, ℂ |
| siehe Kardinalzahlen |
die Vorstellung, dass Unendlichkeiten unterschiedlich groß sein können, ist die vielleicht kontraintuitivste mathematische Entdeckung, die je gemacht wurde.
Auch der Begründer der Mengenlehre hat nicht damit gerechnet:
Cantor [hat] lange Zeit versucht ..., nachzuweisen, dass alle unendlichen Mengen gleichmächtig sind[1]
Relevanz
Es war Cantors bahnbrechende Leistung, zu erkennen, dass es ... überabzählbare Mengen gibt. (Es ist keine Übertreibung zu behaupten, dass die von Cantor begründete Mengentheorie ihre Existenz genau dieser Tatsache verdankt.)
Einer der ersten großen Triumphe von Cantors Mengenlehre war ein einfacher Nachweis, dass es reelle Zahlen geben muss, die sich nicht (wie algebraische Zahlen) mit endlichen Ausdrücken, sondern nur mit Grenzwerten darstellen lassen (transzendente Zahlen).
Er zeigte:
(i) Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar.
(ii) Die Menge der reellen Zahlen ist nicht abzählbar.[2]
Es gibt also „mehr“ reelle als algebraische Zahlen.
Die mathematisch exakte Formulierung des Begriffs ,mehr‘ war ... sicherlich das wichtigste Ergebnis von Cantors Arbeit, weil es das Wissen über das reelle Zahlensystem revolutionär vertiefte.
Unendliche Mengen sind unverzichtbar, denn sogar der Begriff einer reellen Zahl kann nicht ausschließlich mit endlichen Mengen gebildet werden....
Cantor ... riskierte es und war erfolgreich damit, zu zeigen, dass wir über das Unendliche widerspruchsfrei reden können, und dass wir dabei viel gewinnen.[3]
Fazit
Die Aufgabe der Mengenlehre ist es, das Unendliche mit mathematischen Mitteln zu erforschen.[4]
Weiter
Quellen
| [1] | Thomas Streicher: Einführung in die Axiomatische Mengenlehre (PDF), S. 2 |
| [2] | Eberhard (Hrsg.) Zeidler: Teubner- |
| [3] | Penelope Maddy: Believing the Axioms, part II (PDF), The Journal of Symbolic Logic, 1988, S. 486 (im PDF S. 7) – „infinite sets are indispensable since even the notion of a real number cannot be developed by means of finite sets only. ... Cantor had ... taken a chance and succeeded in showing that we can reason consistently about the infinite and that we have much to gain by doing so“. |
| [4] | Martin Goldstern: Mengenlehre: Hierarchie der Unendlichkeiten (PDF), S. 1 |