Mengen von Mengen
Eine Menge, deren Elemente wieder Mengen sind, wird manchmal Familie genannt.
Vorteile
Man kann Elemente, Mengen und Familien mit einem Wort unterscheiden, wodurch man nicht so leicht durcheinander kommt und sich kürzer fassen kann. Wenn man z. B. mehrere Mengen von Mengen studiert, müsste man bei jedem Gebrauch des Wortes „Menge“ klarstellen, ob man eine der Mengen von Mengen oder eine der enthaltenen Mengen meint.[1]
Die Mengen, die zu einer Familie gehören, nenne ich Familienmitglieder. So kann ich sie bequem und selbsterklärend von anderen Mengen unterscheiden.
Beispiele
- Filter
- Ultrafilter
- Netz
- Familie von offenen Mengen (Topologie)
Definition
Eine Familie braucht eine Indexmenge I, sodass die Familie als (ai)i∈I geschrieben werden kann. So eine Indexmenge gibt es bei einer Menge im Allgemeinen nicht, aber man kann sich mit einem Trick behelfen:
| formal | |
|---|---|
| Man nimmt die Menge selbst als Indexmenge. | (a)a∈A |
Praktisch und theoretisch ist durch diese Darstellung zwar nichts gewonnen, aber dank ihr darf man jede Menge als „Familie“ bezeichnen.
Kritik
- Eine Familie kann jedoch dasselbe Familienmitglied mehrfach enthalten. Somit ist eine „Familie von Mengen“ nicht dasselbe wie eine „Menge von Mengen“.
- Wenn man keine Wiederholungen der gleichen Menge braucht, ist „Menge von Mengen“ der exaktere Begriff.[2]
- Selbst wenn doppelte Familienmitglieder nicht stören, müsste man das erst beweisen – eine unnötige Arbeit.[3]
- Für Anfänger ist es verwirrend,[4]
- wenn die gleichen Objekte mal „Mengen“ und mal „Familien“ genannt werden (bei verschiedenen Autoren)
- wenn Familien mal eine Indexmenge brauchen und mal nicht
- Eigentlich sind alle Mengen eine „Menge von Mengen“, denn „Urelemente“ gibt es in der heutigen Mathematik nicht.
Lösung
Wenn für eine „Familie“ keine Indexmenge angegeben ist, dann ist „Familie“ hier nur ein anderes Wort für „Menge“.
Man könnte auch zwischen „Familien“ und „indizierten Familien“ unterscheiden. Das wird im Englischen gemacht, aber auch nicht durchgängig.[5]
Weiter
Quellen
| [1] | englische Wikipedia, Artikel „Family of sets“ – „It is usually used in phrases like ,family of sets‘ because if one instead uses ,set of sets‘ then the subsequent use of ,set‘ can be confusing as to whether it is the containing set or one of the member sets.“ |
| [2] | Paul Frost im Diskussionsforum StackExchange – „a family of sets can be understood either as a set of sets or as function f : I → P where P is a set of sets. This is indeed vague and leaves much scope for interpretation. The same vagueness of notation can be found in many textbooks.“ |
| [3] | Paul Frost auf StackExchange – „The essential disadvantage of the alternative definition is that indices are completely unne[ce]ssary – many formally distinct families of ,indexed topologies‘ give the same ,standard topology‘.“ |
| [4] |
Fragen auf StackExchange: |
| [5] | englische Wikipedia,
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