Naive Mengenlehre
In einer meiner ersten besuchten Vorlesungen beim Mathematik-
Für unsere Zwecke genügt es, sich unter einer Menge eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens vorzustellen. Diese Objekte heißen Elemente der Menge. Für jedes Objekt ist dabei feststellbar, ob es zur Menge gehört oder nicht.[1]
Ich wunderte mich, wieso der Professor dazu „Definition“ unter Anführungszeichen geschrieben hat. Z. B. in Darstellender Geometrie an der HTL waren solche Definitionen üblich. Erst später wurde mir klar, dass diese Beschreibung tatsächlich aus dem Rahmen der modernen Mathematik fällt.
Eigenschaften der naiven Mengenlehre
Beispiele[2]
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Problem
Die letztgenannte Regel ist falsch. So gebildete Mengen können zu Widersprüchen führen. Siehe Paradoxa in der naiven Mengenlehre
Lösung
- Nicht jede beliebige Eigenschaft definiert eine Menge.
- Die Objekte, die die Eigenschaft haben sollen, müssen zu einer definierten Grundmenge gehören. D. h. es darf nicht völlig offen gelassen werden, wo die gesuchten Objekte zu finden sind.[3]
- (Grund-
)Mengen sind nach gewissen Regeln (Axiomen) aus kleineren Mengen zu definieren. Erst dann können deren Elemente, die eine gewisse Eigenschaft haben, „gefiltert“ werden.
Gelebte Praxis
In der alltäglichen Mathematik kann ein informaler Gebrauch der axiomatischen Mengenlehre die beste Wahl sein. ... Das kann dann ... genau so wie naive Mengenlehre aussehen. Es ist deutlich einfacher zu lesen und zu schreiben (bei der Formulierung der meisten Behauptungen, Beweise und Argumente) und ist weniger fehleranfällig als ein streng formaler Zugang.[4]
Mein Fazit
Der eingangs zitierte Professor hat sich in seiner Einführungsvorlesung zu Recht auf die naive Mengenlehre beschränkt.
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Quellen
| [1] | Hans Havlicek: Lineare Algebra und analytische Geometrie I, 1994, S. 5 |
| [2] | Hans Havlicek: Lineare Algebra und analytische Geometrie I, 1994, S. 5 und 15 |
| [3] | Englische Wikipedia,
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| [4] | Englische Wikipedia, Artikel „Naive set theory“, Abschnitt „Utility“ – „In everyday mathematics the best choice may be informal use of axiomatic set theory. ... This informal usage of axiomatic set theory can have (depending on notation) precisely the appearance of naive set theory as outlined below. It is considerably easier to read and write (in the formulation of most statements, proofs, and lines of discussion) and is less error- |