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| Widerspruch
| Lösung
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| Jede Ordinalzahl kann als Menge aller kleineren Ordinalzahlen definiert werden und umgekehrt. Die Menge aller Ordinalzahlen wäre daher selbst eine Ordinalzahl. Aber zu jeder Ordinalzahl existiert eine größere, d. h. die Menge aller Ordinalzahlen kann nie vollständig sein (Burali-Forti-Paradoxon).
| Der Widerspruch beweist, dass alle Ordinal- bzw. Kardinalzahlen keine Menge bilden (sondern eine echte Klasse).
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| Jede Kardinalzahl kann als Beispiel für eine Menge mit der „Größe“, die die Kardinalzahl angibt, aufgefasst werden. Die Vereinigung aller Kardinalzahlen wäre daher selbst eine Kardinalzahl. Aber zu jeder Kardinalzahl existiert eine größere (Satz von Cantor), d. h. die Menge aller Kardinalzahlen kann nie vollständig sein (Erste Cantorsche Antinomie).
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| Für jede Menge ist die Menge ihrer Teilmengen echt größer (wieder Satz von Cantor). Die Menge aller Mengen kann daher nie vollständig sein (Zweite Cantorsche Antinomie oder Cantorsches Paradoxon).
| Man darf nur Objekte (wie z. B. Mengen) zu einer neuen Menge zusammenfassen, wenn diese Teil einer bestimmten, zuvor konstruierten Menge sind.
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- Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten
| Egal, ob diese Menge sich selbst enthält oder nicht – es folgt immer das Gegenteil, also ein Widerspruch (Russellsche Antinomie).
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- Menge aller Mengen, die kein Element enthalten, das ein Element enthält, und das wieder usw. unendlich lang (= Menge aller fundierten Mengen)
| Wenn diese Menge sich selbst nicht enthält, müsste sie laut Bildungsvorschrift enthalten sein und umgekehrt (Mirimanovsches Paradoxon).
| Mengen dürfen prinzipiell nicht sich selbst enthalten.
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- Menge aller Mengen, die sich selbst enthalten, wenn daraus folgt, dass 0 = 1 ist (oder eine beliebige andere Aussage, egal wie absurd)
| Die Frage, ob diese Menge sich selbst enthält, entspricht dann einer Aussage wie „Wenn dieser Satz wahr ist, dann ist 0 = 1.“ Daraus lässt sich ableiten, dass tatsächlich 0 = 1 ist,[1] obwohl das falsch ist (Currys Paradoxon).
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| Ordne die Zahlen z. B. lexikografisch nach ihrer Definition. Bilde dann eine reelle Zahl, die mit der n-ten Zahl aus dieser Menge an der n-ten Stelle nicht übereinstimmt. Diese Zahl kann nicht in der Liste enthalten sein, d. h. die Menge aller definierbaren reellen Zahlen kann nie vollständig sein (Richards Paradoxon).
| Man darf nur formalisierbare Eigenschaften zur Definition von Mengen verwenden. („Definierbar“ ist laut Tarskis Undefinierbarkeitssatz in der Sprache der Mengenlehre nicht formalisierbar.)
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- Menge aller reellen Zahlen, die nicht definiert werden können
| Die reellen Zahlen lassen sich in bestimmter Weise aufsteigend sortieren (Wohlordnungssatz). In dieser Sortierung muss es eine kleinste reelle Zahl geben, die nicht definierbar ist. Doch diese Zahl wurde gerade definiert (Königs Paradoxon)!
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- Menge aller natürlichen Zahlen, die nicht mit weniger als 100 Zeichen definiert werden können.
| Diese Menge müsste eine kleinste Zahl enthalten, aber diese Zahl wäre gerade mit weniger als 100 Zeichen definiert worden (Berry-Paradoxon).
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Wann immer man nach dem Definieren einer Menge auf einen Widerspruch stößt, kann man also schlussfolgern, dass man nicht wirklich eine Menge definiert hat. Somit ist die naive Mengenlehre nicht falsch, aber es ist lästig, immer mit Widersprüchen rechnen zu müssen.
