Abzählbare Mengen

Eine unendliche Menge ist abzählbar, wenn ihre Elemente so aufgezählt werden können:

{a₁, a₂, a₃, ...}

oder gleichbedeutend:

{a_i | i ∈ ℕ}

Beispiele

die Menge aller natürlichen Zahlen (ℕ)
die Menge aller ganzen Zahlen (ℤ)
die Menge aller rationalen Zahlen (ℚ)
die Menge aller definierbaren Zahlen (egal, was du genau unter „definierbar“ verstehst, solange es sinnvoll ist^[1])

Abzählbare Mengen sind die kleinsten unendlichen Mengen. (Ihre Kardinalzahl ist ℵ₀.)
Daher hat jede unendliche Menge eine abzählbare Teilmenge.
Die Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen ist eine abzählbare Menge.
Das kartesische Produkt von endlich vielen abzählbaren Mengen ist abzählbar.

(Alles auf dieser Webseite gilt in der üblichen Mengenlehre mit Auswahlaxiom.)

Abzählbare Mengen sind mathematisch noch relativ gut „beherrschbar“.

Alle Elemente einer Menge können mit einem Symbol (z. B. oben a_i) bezeichnet werden.
Aussagen über ihre Elemente können mit vollständiger Induktion bewiesen werden.
Abzählbar viele Elemente lassen sich (unter gewissen Voraussetzungen) addieren oder multiplizieren.
Aus abzählbar vielen Elementen lässt sich (unter gewissen Voraussetzungen) eine Folge definieren.

abzählbar	für höchstens abzählbar (= endlich oder abzählbar)
abzählbar unendlich	für abzählbar

Leider herrscht hier unter Mathematikern wenig Einigkeit.

Ivan Khatchatourian: 4. Countability (PDF) – Gut motivierte, ausführliche Einführung (in englisch)

[1]	Martin Goldstern: Mengenlehre: Hierarchie der Unendlichkeiten (PDF), S. 9, Fußnote 8 - „Unter jeder sinnvollen Definition des Wortes ,definierbar‘ gibt es nur abzählbar viele definierbare reelle Zahlen“

Seite erstellt am 14.9.2025 – letzte Änderung am 14.9.2025