Potenzmenge
(Abkürzung: 𝒫)
Als Potenzmenge wird die Menge aller Teilmengen (einer genannten Ausgangsmenge) bezeichnet.
Beispiel
| Beschreibung | |||
|---|---|---|---|
| Für A | = | {1, 2, 3} | Ausgangsmenge |
| ist die Potenzmenge | |||
| 𝒫(M) | = | {∅, | leere Menge |
| {1}, {2}, {3}, | Einermengen | ||
| {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, | Teilmengen mit genau 2 Elementen | ||
| {1, 2, 3}} | die gesamte Menge | ||
Beachte, dass 1, 2 und 3 keine Elemente der Potenzmenge sind! Die Potenzmenge enthält nur die Mengen, in denen 1, 2 oder 3 enthalten sind.
Kardinalität
Bei endlicher Ausgangsmenge
In einer beliebigen Teilmenge gibt es für jedes Element 2 Möglichkeiten: Es ist enthalten oder es ist nicht enthalten. Hat die Ausgangsmenge n Elemente, gibt es daher 2n verschiedene Teilmengen.
Allgemein
Die Potenzmenge ist immer größer (hat eine größere Kardinalzahl) als die Ausgangsmenge (Satz von Cantor). Wenn die Ausgangsmenge beispielsweise abzählbar ist (z. B. ℕ), dann ist die Potenzmenge überabzählbar.
Möglichkeiten
| Beispiele/Beschreibung | Abk. | |||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Man kann auch von einer Potenzmenge die Potenzmenge bilden | 𝒫(𝒫(A)) | 𝒫2(A) | ||||||||||||||||||||
| und dann wieder | 𝒫(𝒫(𝒫(A))) | 𝒫3(A) | ||||||||||||||||||||
| und wieder ... (So erhält man Mengen mit immer größerer Kardinalität.) | 𝒫n(A) | |||||||||||||||||||||
sogar transfinit oft (d. h. nachdem man die Potenzmengen-| ⋃n ∈ ℕ 𝒫n(A)
| 𝒫ω(A)
| 𝒫(⋃n ∈ ℕ 𝒫n(A))
| 𝒫ω+1(A)
| ⋃m ∈ ℕ 𝒫m(⋃n ∈ ℕ 𝒫n(A))
| 𝒫ω+ω(A)
|
| 𝒫α(A)
| Manchmal möchte man nur Teilmengen einer bestimmten Größe (Kardinalität).
| alle 2-elementigen Teilmengen
| 𝒫2(A)
| alle endlichen Teilmengen
| 𝒫fin(A)
| alle abzählbaren Teilmengen
| 𝒫ω(A)
| alle höchstens abzählbaren Teilmengen
| 𝒫≤ω(A)
| alle überabzählbaren Teilmengen
| 𝒫≥ω1(A)
| Da es für jedes Element 2 Möglichkeiten (enthalten/nicht enthalten) gibt, ist eine Teilmenge im Grunde dasselbe wie eine Funktion von der Ausgangsmenge nach {0, 1}, und die Potenzmenge ist die Menge aller solcher Funktionen.
| Die Menge aller Funktionen von A nach B wird als BA geschrieben, und {0, 1} ist mengentheoretisch gleich 2. Deshalb wird die Potenzmenge 𝒫(A) auch als 2A geschrieben, und daher kommt auch der Name Potenzmenge.[1]
| 2A
| |
Was sind „alle“ Teilmengen?
Ich hätte gedacht, dass die „Menge aller Teilmengen“ ein einfaches Konzept ist, aber dem ist nicht so:
Eine der wichtigsten Erkenntnisse der Mengenlehre ist, dass die Potenzmengen-Operation unglaublich kompliziert ist.[2]
Bei unendlichen Mengen kann man nämlich gar nicht so leicht sagen, was „alle“ Teilmengen sind:
- Explizit angeben kann man nur abzählbar viele, denn es gibt nur abzählbar viele Formeln.
- Welche Teilmengen es unter den nicht definierbaren gibt, bleibt ein Geheimnis. Z. B. ist weder beweisbar noch widerlegbar, dass alle unendlichen Teilmengen von ℝ „gleich groß“ wie ℕ oder ℝ selbst sind (Kontinuumshypothese).
In der Praxis (außerhalb der Mengenlehre) gibt’s aber kaum ein Problem mit Potenzmengen. D. h. du kannst gefahrlos annehmen, dass sie „alle“ Teilmengen enthalten. Eine fehlende wirst du nicht finden.
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Quellen
| [1] | Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre, Abschnitt „Die Potenzmenge“ – „Der Name Potenzmenge bietet sich wegen des Zusammenhangs mit der arithmetischen Potenzoperation an“. |
| [2] | Noah Schweber im Diskussionsforum StackExchange – „One of the big takeaways of set theory is that the powerset operation is incredibly complicated.“ |