Leere Menge
(Abkürzung: ∅)
Die leere Menge ist eine Menge ohne ein Element. Da Mengen allein durch ihre Elemente definiert werden, gibt es nur eine leere Menge. Sie gehört zu den endlichen Mengen.
Mit der leeren Menge kann z. B. formal ausgedrückt werden, dass 2 Mengen kein Element gemeinsam haben:
A ∩ B = ∅
Häufig ist die leere Menge aber ein Sonderfall, der ausgeschlossen oder eigens behandelt werden muss (ähnlich wie die Zahl 0).
Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. – Diese Trivialität hat mir als Student gefallen, weil ich damit über jede nur erdenkliche Menge etwas weiß.
Kuriosität
Auch bzgl. logischen Aussagen ist die leere Menge ein Sonderfall. Beim Mathematik-
Über die leere Menge können Sie Andersens Märchen erzählen.
Z. B.:
Alle Elemente der leeren Menge haben rosarote Ohren.
Das ist wahr, weil das logische Gegenteil („Es gibt ein Element der leeren Menge, das keine rosaroten Ohren hat“) falsch ist – es gibt ja kein Element in der leeren Menge.
Bemerkenswert ist, dass auch die Aussage
Alle Elemente der leeren Menge haben keine rosaroten Ohren.
wahr ist. Das ist nur möglich, weil es tatsächlich gar kein Element in der leeren Menge gibt. (Die Aussagen sind daher eine leere Wahrheit.) Ansonsten wären beide Aussagen zusammen ein Widerspruch, da kein Element eine Eigenschaft und gleichzeitig dieselbe Eigenschaft nicht haben kann.
Andere Schreibweisen
| {} | in der Schulmathematik |
| Standard im Formelsatzsystem LaTeX |
| 0 |
manchmal in alter Literatur (Obwohl die Zahl 0 mengentheoretisch als = ∅ definiert wird, schreiben heutige Mathematiker nie 0 für die leere Menge. Das hilft, Verwechslungen zu vermeiden.) |
| ⦰ | in dänischen und norwegischen Texten, da in diesen Sprachen ∅ als Buchstabe vorkommt |
