Folgerungen aus dem Determiniertheitsaxiom
Erwünschte Folgerungen
- Es gibt keine unmessbaren Mengen. Alle Mengen haben die Baire-
Eigenschaft und sind höchstens abzählbar oder enthalten eine perfekte Teilmenge. - Es gibt keine Wohlordnung der reellen Zahlen. Eine wohlgeordnete Teilmenge der reellen Zahlen kann höchstens abzählbar sein.[1]
- Die Eigenschaften von komplizierten Teilmengen der reellen Zahlen, die in der ZFC-
Mengenlehre unentscheidbar sind, können bewiesen werden (tw. mit weiteren Annahmen).[2] - Teilmengen von ℝ können nur endlich, abzählbar oder gleich mächtig wie ℝ selbst sein (abgeschwächte Kontinuumshypothese).
Unerwünschte Folgerungen
- Mengen lassen sich nicht linear nach ihrer Mächtigkeit ordnen.
- Die Mächtigkeiten von wohlordenbaren Mengen (Alephs) sind noch linear geordnet, aber ℝ gehört nicht dazu, und daher kommt die Mächtigkeit von ℝ unter diesen Mächtigkeiten nicht vor (d. h. |ℝ| ist kein Aleph).
- Es lässt sich nicht einmal ℵ1 (= ω1 = die kleinste überabzählbare Ordinalzahl = die kleinste überabzählbare Wohlordnung) umkehrbar eindeutig einer Teilmenge von ℝ zuordnen (denn dann gäbe es doch eine überabzählbare wohlgeordnete Teilmenge von ℝ).
- Beim Vergleich von 2 unendlichen Mengen ist zu unterscheiden:
formal A lässt sich in B einbetten (d. h. es gibt eine injektive Abbildung von A in B). |A| ≤ |B| Weder lässt sich A in B noch B in A einbetten |A| ≰ |B|
|B| ≰ |A|Jedes Element von B lässt sich einem Element von A zuordnen, sodass keine Elemente übrig bleiben (d. h. es gibt eine surjektive Abbildung von B auf A). |A| ≼ |B|
- Die Kardinalitäten haben bizarre Eigenschaften.
- ℝ kann in mehr elementfremde (disjunkte), nicht leere Teilmengen zerlegt werden, als ℝ Elemente hat (Aufteilungsparadoxon)![3]
- Es gibt Vektorräume ohne Basis (z. B. ℝ über ℚ).[4]
- Es gibt keinen freien Ultrafilter auf ℕ.[5]
Diese Folgerungen ergeben sich tw. daraus, dass das Auswahlaxiom nicht gilt.
Mein Fazit
So schön das Determiniertheitsaxiom für die Analyse von komplexen Teilmengen der reellen Zahlen auch ist – an anderen Stellen reißt es Löcher in die Mathematik. Daher ist es kein vollwertiger Ersatz für das Auswahlaxiom.
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Weblinks
- Weitere Folgerungen und Zusammenhänge auf „Cantors Dachboden“ (englisch, für Mathematiker)
Quellen
| [1] |
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| [2] | Itay Neeman: Determinacy and Large Cardinals (PDF), S. 1 – „det(Γ), taken as an axiom, gives rise to a rich structure theory that establishes a hierarchy of complexity on the sets in Γ, and completely answers all natural questions about the sets in each level of the hierarchy.“ |
| [3] | Joel David Hamkins: Lectures on the Philosophy of Mathematics, zitiert im Diskussionsforum Reddit – „there can be an equivalence relation on R, such that the number of equivalence classes is strictly greater than the size of R. That is, you can partition R into disjoint sets, such that the number of these sets is greater than the number of real numbers. Bizarre! This situation is a consequence of the axiom of determinacy and is relatively consistent with the principle of dependent choice and the countable axiom of choice.“ |
| [4] |
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| [5] | Paul B. Larson: A Brief History of Determinacy (PDF), S. 13 – „Mycielski noted that under AD there are no nonprincipal ultrafilters on ω (this follows from Lebesgue measurability for all sets of reals plus a result of Sierpinski [Sie38] showing that nonprincipal ultrafilters on ω give rise to nonmeasurable sets of reals)“. |