Meinungen über das Determiniertheitsaxiom
Niemand behauptet, dass das Determiniertheitsaxiom oder dessen Gegenteil ... intuitiv einleuchtend ist. ... Dennoch wurde es als mögliches Axiom der Mengenlehre sehr ernst genommen.[1]
Selbst die Mehrheit von denen, die mit dem Determiniertheitsaxiom arbeiten, betrachtet es nicht als ein „wahres“ Prinzip[2]
Aufgrund der „Reichhaltigkeit und inneren Harmonie seiner Folgerungen“ hat das Determiniertheitsaxiom so „einen großen Einfluss auf die moderne Mengenlehre“ bekommen, und das hat zu einer „sehr reichhaltigen und faszinierenden Theorie“ geführt.[3]
Leute begannen, das Determiniertheitsaxiom zu studieren, weil damit Mengen von reellen Zahlen ein sehr gutes Verhalten haben, [d. h.] viele „Regularitäts“-Eigenschaften erfüllen. Für beschreibende Mengentheoretiker ist das Determiniertheitsaxiom eine Art Paradies: Jede Menge von reellen Zahlen ist Lebesgue- messbar, hat die Baire- Eigenschaft und die perfekte- Teilmengen- Eigenschaft, und bei der Frage, welche projektiven Punktklassen die Separations- und Uniformisierungseigenschaft erfüllen, gibt es ein sehr schönes und geordnetes Muster[4]
Besser als das Auswahlaxiom?
Wenn ein Modell von ZF das Determiniertheitsaxiom erfüllt, dann ist es näher an der physikalischen Wirklichkeit als jedes Modell von ZFC.[5]
Von allen Alternativen zum Auswahlaxiom ist das Determiniertheitsaxiom zweifellos das interessanteste.[6]
Dem letzten Zitat widerspricht (für mich überraschend) eine neuere Quelle:
Das Axiom der Determiniert wird insgesamt nicht als Alternative zu (AC) gesehen und propagiert
Auch in einem von mir geschätzten Online-
Das Determiniertheitsaxiom widerspricht dem Auswahlaxiom und wurde deshalb niemals wirklich als neues Axiom vorgeschlagen.[7]
Kritik
Kritische Stimmen sind mir bisher nicht untergekommen. Das liegt vielleicht daran, dass jemand, der das Determiniertheitsaxiom nicht mag oder für dessen Zwecke es wenig taugt, es einfach nicht verwendet.
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Quellen
| [1] | Penelope Maddy: Believing the Axioms, part II (PDF), The Journal of Symbolic Logic, 1988, S. 738 (im PDF S. 4) – „No one claims direct intuitions...either for or against determinacy hypotheses. ... Yet it has been taken very seriously as an axiom candidate.“ | ||||||
| [2] | Buchrezension von 1980 (PDF), S. 346 (im PDF S. 8) – „even the majority of those working with AD do not consider it a ,true‘ principle“ | ||||||
| [3] | Horst Herrlich: Axiom of Choice (PDF). Berlin: Springer, 2006, S. 151 (im PDF S. 162) – „It is the ,richness and internal harmony of these consequences‘ that caused the axiom of determinateness ,to have an extraordinary impact on modern set theory‘ and has led to a ,very rich and intriguing theory.‘“ (Der Autor Herrlich hat hier andere Mathematiker zitiert.) | ||||||
| [4] | Patrick Lutz: Results on Martin’s Conjecture (PDF), Dissertation, 2021, S. 8 (im PDF S. 9) – „people began to study the Axiom of Determinacy because it implies that sets of reals are very well-| [5]
| V. W. Marek and J. Mycielski laut Horst Herrlich: Axiom of Choice (PDF). Berlin: Springer, 2006, S. 150 (im PDF S. 161) – „If a model of ZF satisfies AD, then this model is closer to physical reality than any model of ZFC.“
| [6]
| U. Felgner and K. Schulz: „Algebraische Konsequenzen des Determiniertheit- | [7]
| Stanford Encyclopedia of Philosophy, Artikel Large Cardinals and Determinacy#HisOve „Large Cardinals and Determinacy“, Abschnitt „Historical Overview“ – „AD contradicts AC and for this reason it was never really proposed as a new axiom.“
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