Kardinalitäten unter dem Determiniertheitsaxiom
Wenn das Determiniertheitsaxiom (AD) gilt, ist die Theorie der Kardinalitäten (= Mächtigkeiten = „Größe“) von unendlichen Mengen erheblich komplizierter als wenn (wie üblich) das Auswahlaxiom angenommen wird.
Gleich ist:
formal | Bedeutung |
---|---|
ℵ0, ℵ1, ... | Kardinalzahlen |
2X | (Kardinalität der) Menge aller Teilmengen (Potenzmenge) von X |
Bezeichnung | Beispiele | |
---|---|---|
| Alephs | ℵ0 < ℵ1 < ℵ2 ... |
| Beths | ℵ0 < 2ℵ0 < 2(2ℵ0) ... |
ℵ1 < 2ℵ1 < 2(2ℵ1) ... |
Anders ist:
formal | Bedeutung |
---|---|
|A| = |B| | ∃ Bijektion von A nach B |
|A| ≤ |B| | ∃ Injektion von A nach B |
|A| ≤* |B| | ∃ Surjektion von B auf A |
|A| < |B| | ∃ Injektion, aber
∄ Bijektion von A nach B |
formal | Bedeutung |
---|---|
2ℵ0 + ℵ1 | Kardinalität der Vereinigungsmenge 2ℵ0 ∪ ℵ1 |
Beispiele | ||
---|---|---|
| ||
| Menge aus dem Aufteilungsparadoxon: Menge 𝒦 aller Teilmengen von ℕ, die sich um unendlich viele Zahlen von allen anderen in 𝒦 unterscheiden | [1] |
| 2ℵ0
< 2ℵ0 + ℵ1 | |
| |ℝ| ≰ ℵ1 und ℵ1 ≰ |ℝ| | |
| |ℝ| < |𝒦|, aber |𝒦| ≤* |ℝ| |
Bemerkenswert ist:
Während es zwischen ℵ0 und 2ℵ0 keine weitere Mächtigkeit gibt, so gibt es genau 3 Mächtigkeiten zwischen 2ℵ0 und 2(2ℵ0) [siehe Tabelle oben].[2]
unter AD sind ω1 und ω2 bereits messbar (aber natürlich nicht einmal schwach unerreichbar). Dagegen sind alle ωn mit 2 < n < ω dann singulär, und zwar mit Konfinalität ω2, während ω nun nicht messbar ist, da es keinen freien UF auf ω gibt![3]
ℵω + 1 und ℵω + 2 sind wieder messbar.[4]
Mathematiker bezeichnen diese Sachverhalte als seltsam[5] und unintuitiv[6].
Weiter
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Quellen
[1] | Klaus Gloede: Skriptum zur Vorlesung Deskriptive Mengenlehre (PDF), S. 160 (im PDF S. 164) |
[2] | Klaus Gloede: Skriptum zur Vorlesung Deskriptive Mengenlehre (PDF), S. 160 (im PDF S. 164) |
[3] | Klaus Gloede: Skriptum zur Vorlesung Deskriptive Mengenlehre (PDF), S. 160 (im PDF S. 164) |
[4] | Buchrezension von 1980 (PDF), S. 347 (im PDF S. 9) – "ℵω + 1 and ℵω + 2 are again measurable." |
[5] |
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[6] | Buchrezension von 1980 (PDF), S. 347 (im PDF S. 9) – „it is not an easy world to grasp. For instance: what intuition could possibly be behind the fact that ℵ1 and ℵ2 are measurable cardinals, but for every n ≥ 3, ℵn is a singular cardinal (of cofinality ℵ2)?“ |