Die Mächtigkeit von ℝ unter dem Determiniertheitsaxiom
Wenn das Determiniertheitsaxiom gilt, lassen sich die reellen Zahlen
- nicht wohlordnen und daher
- auf keine Ordinalzahl (= Menge aller kleineren Ordinalzahlen) umkehrbar eindeutig (injektiv) abbilden (denn dadurch könnte die Wohlordnung der Ordinalzahl in die Menge ℝ „geholt“ werden).
Aber die reellen Zahlen können auf Ordinalzahlen abgebildet werden, wenn die Zuordnung nicht eindeutig umkehrbar ist, weil mehrere reelle Zahlen auf dieselbe Ordinalzahl abgebildet werden. Nun kann man fragen, wie groß eine Ordinalzahl sein kann, sodass alle ihre Elemente (= alle kleineren Ordinalzahlen) mindestens einer reellen Zahl zugeordnet werden können (surjektive Funktion). Die Antwort, wenn das Determiniertheitsaxiom gilt: sehr groß. Die Vereinigungsmenge (Supremum) aller Ordinalzahlen, für die so eine Zuordnung zu den reellen Zahlen möglich ist (sie wird Theta genannt: Θ), ist möglicherweise sogar eine unerreichbare Kardinalzahl.[1]
Projektive Ordinalzahlen
Interessant ist auch die Frage, auf wie große Ordinalzahlen die reellen Zahlen in der beschriebenen Weise (surjektiv) abgebildet werden können, in Abhängigkeit von der Komplexität der Definition dieser Abbildung (gemessen mit der projektiven Hierarchie). Wenn man die Komplexität schrittweise steigert, erhält man eine Folge mit überraschenden Sprüngen:[2]
δ11 = ω1
δ12 = ω2
δ13 = ωω + 1
δ14 = ωω + 2
δ15 = ωω(ωω) + 1
δ16 = ωω(ωω) + 2
Paradox
Die Menge aller abzählbaren Teilmengen von ℝ hat unter dem Determiniertheitsaxiom eine echt größere Kardinalität als ℝ selbst, obwohl die reellen Zahlen auf diese Menge abgebildet werden können (surjektiv).
Es ist ein beängstigender Gedanke, dass Surjektionen von den reellen Zahlen hier nicht umgekehrt werden können.[3]
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Quellen
| [1] | Klaus Gloede: Skriptum zur Vorlesung Deskriptive Mengenlehre (PDF), S. 159 (im PDF S. 163) – "Θ = ωΘ, also ist Θ eine Limeskardinalzahl, möglicherweise sogar regulär und damit schwach unerreichbar." |
| [2] | Penelope Maddy: Believing the Axioms, part II (PDF), The Journal of Symbolic Logic, 1988, S. 746 (im PDF S. 12) |
| [3] | Asaf Karagila: The Philosophy of Cardinality: Pathologies or not? – "ℝ might have a very strange cardinality ... in models of ZF + AD. In fact in those models the cardinality of [ℝ]ω is strictly larger than that of ℝ, although the real numbers could still be mapped onto that set. It is a frightening thought, that surjections from the real numbers cannot be reversed like that." |