Varianten des Auswahlaxioms
Original
| Axiom | Abk. | Beschreibung (vereinfacht) |
|---|---|---|
| Auswahlaxiom (englisch: axiom of choice) | AC | Aus beliebig vielen nicht leeren Mengen kann man je irgendein Element auswählen (und daraus eine neue Menge bilden). |
Schwächere Varianten
| Axiom | Abk. | Beschreibung (vereinfacht) | Vorteile | Nachteile | |
|---|---|---|---|---|---|
| Axiom der abhängigen Auswahl (englisch: axiom of dependent choice) oder auch: beschränktes Auswahlaxiom | DC | Wenn jedes Element einer nicht leeren Menge mit mindestens einem Element derselben Menge in Beziehung steht, kann man eine (abzählbar unendliche) Folge von Elementen auswählen, die jeweils mit ihren benachbarten Folgengliedern in Beziehung stehen. |
| ||
| Abzählbares Auswahlaxiom (englisch: axiom of countable choice) | ACω |
Aus abzählbar vielen nicht leeren Mengen kann man je irgendein Element auswählen (und daraus eine neue Menge bilden). (Folgt aus DC, aber nicht umgekehrt.) | Gilt in manchen Modellen der Mengenlehre (z. B. Howard-| Einige Sätze aus Topologie bzw. Funktionalanalysis sind nicht beweisbar.[4]
| CC
| |
Seltener werden diskutiert:
| Axiom | Abk. | Beschreibung (vereinfacht) | |||
|---|---|---|---|---|---|
| Auswahlaxiom für wohlordenbare Mengen | ACWO |
Wenn eine Sammlung (Menge) von nicht leeren Mengen wohlordenbar ist, dann kann man aus jeder in ihr enthaltenen Menge ein Element auswählen. (Daraus folgt CC und sogar DC.[5]) | |||
| Uniformisierungsaxiom | ACX(Y) |
Wenn eine Sammlung (Menge) von geordneten Paaren (x, y) vorliegt, dann kann man daraus alle vorkommenden x gemeinsam mit je einem y auswählen. (Die x dienen also als Indexmenge, und die y bilden für jedes x eine Menge, aus der ausgewählt werden soll.) | |||
| ACℝ(ℝ) |
Meist wird zusätzlich gefordert, dass die x und y reelle Zahlen sein müssen. Oder allgemeiner: aus einem ähnlichen topologischen Raum (separabel und vollständig metrisierbar = polnischer Raum). Würde man x und y aus beliebigen Mengen zulassen, wäre das Uniformisierungsaxiom logisch gleichwertig zum uneingeschränkten Auswahlaxiom. | ||||
Kinna-| KW
| Aus beliebig vielen Mengen mit mindestens 2 Elementen kann man je eine echte Teilmenge auswählen.[6]
| Axiom der multiplen abzählbaren Auswahl
| CMC
|
| Aus abzählbar vielen nicht leeren Mengen kann man je eine nicht leere, endliche Teilmenge auswählen. (Möglicherweise gleichwertig zu CC[7]) |
Logisch gleichwertige Varianten
Die werden daher noch seltener diskutiert.
| Axiom | Abk. | Beschreibung (vereinfacht) | gleichwertig zu |
|---|---|---|---|
| Axiom der multiplen Auswahl | AMC | Aus beliebig vielen nicht leeren Mengen kann man je eine nicht leere, endliche Teilmenge auswählen. | ⇔ AC[8] |
| Partiell abzählbares Auswahlaxiom | PCC | Wenn abzählbar viele nicht leere Mengen vorliegen, kann man zumindest aus unendlich vielen davon je irgendein Element auswählen. | ⇔ CC[9] |
Einschränkungen
Alle Varianten können weiter abgeschwächt werden, indem man die Mengen, aus denen ausgewählt werden soll, einschränkt:
| Abk. | Beispiel | |
|---|---|---|
| (fin) | AC(fin) |
| (n) | AC(n) |
| (ℝ) | CC(ℝ) |
| (ℤ) | CC(ℤ) |
Stärkere Variante
| Axiom | Abk. | Beschreibung (vereinfacht) |
|---|---|---|
| globales Auswahlaxiom | Wie Auswahlaxiom, aber auch aus einer echten Klasse von nicht leeren Mengen kann man je irgendein Element auswählen (und daraus eine neue echte Klasse erhalten). |
Damit kann man z. B. in der Klasse aller Mengen aus jeder Menge ein Element gleichzeitig auswählen.
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Quellen
| [1] | Horst Herrlich: Axiom of Choice (PDF). Berlin: Springer, 2006, S. 107 (im PDF S. 119) – „there exist models of ZF that satisfy DC, but fail to satisfy even WUF(?) [= Weak Ultrafilter Principle for at least one set]“ |
| [2] | Horst Herrlich: Axiom of Choice (PDF). Berlin: Springer, 2006, S. 164 (im PDF S. 174) |
| [3] | Horst Herrlich: Axiom of Choice (PDF). Berlin: Springer, 2006, S. 160 (im PDF S. 170) |
| [4] | Alan D. Taylor und Stan Wagon: A Paradox Arising from the Elimination of a Paradox (PDF), S. 10 – „DC is preferred over ACω, one reason being that DC is equivalent to the Baire Category Theorem for complete metric spaces.“ |
| [5] | Oliver Deiser: Axiomatische Mengenlehre, Abschnitt „Zum Auswahlaxiom“ – „Offenbar impliziert (ACWO) das abzählbare Auswahlaxiom [denn abzählbare Mengen lassen sich immer wohlordnen]. Überraschenderweise gilt aber stärker auch der folgende Satz von Jensen (1967): (ACWO) impliziert (DC)“. |
| [6] | Horst Herrlich: Axiom of Choice (PDF). Berlin: Springer, 2006, S. 14 (im PDF S. 26) |
| [7] | Horst Herrlich: Axiom of Choice (PDF). Berlin: Springer, 2006, S. 18 (im PDF S. 30) |
| [8] | Horst Herrlich: Axiom of Choice (PDF). Berlin: Springer, 2006, S. 11 (im PDF S. 23) |
| [9] | Horst Herrlich: Axiom of Choice (PDF). Berlin: Springer, 2006, S. 15 (im PDF S. 27) |