Anwendungsbeispiele für das Auswahlaxiom

Wofür man das Auswahlaxiom nicht braucht

	Begründung
um irgendein Element aus einer nicht leeren Menge auszuwählen (ohne zu sagen, welches)	Folgt rein logisch aus der Definition einer nicht leeren Menge („universelle Instanziierung“). Es werden hierfür keine Mengenaxiome benötigt.^[1]
um `n` Elemente aus einer Menge mit mindestens `n` Elementen auszuwählen (ohne zu sagen, welche)	Wenn man ein Element auswählen kann (siehe vorige Zeile), dann kann man auch mehrere auswählen, aber nur endlich viele (denn unendlich viele Schritte kann man nicht ausführen).
um je ein Element aus endlich vielen nichtleeren Mengen auszuwählen (ohne zu sagen, welches)
um Elemente aus Mengen rationaler Zahlen auszuwählen analog für andere abzählbare Mengen mit definierbarer Nummerierung der Elemente (z. B. algebraische Zahlen)	Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar. D. h. die rationalen Zahlen können mit natürlichen Zahlen nummeriert werden. Aus jeder Menge rationaler Zahlen kann somit z. B. die Zahl mit der kleinsten Nummer ausgewählt werden. (Auf welche konkrete Weise nummeriert wird, ist egal, da wir nur je ein beliebiges Element auswählen wollen.)

Für endlich viele Mengen oder für Mengen, deren Elemente aufsteigend nummeriert werden können, wird also nie das Auswahlaxiom benötigt. (Daher ist auch das kartesische Produkt solcher Mengen nie leer.)

Außerdem braucht man das Auswahlaxiom nie für das Rechnen mit natürlichen Zahlen (Peano-Arithmetik). Alle „einfachen“ Formeln (bis zu den Stufen Π¹₂ und Σ¹₃ in der analytischen Hierarchie) können, wenn überhaupt, sowohl mit als auch ohne Auswahlaxiom bewiesen werden (Absolutheitslemma von Shoenfield).^[2]

Wofür man das Auswahlaxiom braucht

Dass in einer mathematischen Herleitung das Auswahlaxiom verwendet wird, ist oft nicht leicht zu sehen. Man braucht es z. B.

um eine abzählbare Menge in der Form {x_i | i ∈ ℕ} darzustellen (ohne eine konkrete Formel oder Vorschrift für die Definition jedes x_i anzugeben)^[3]
um zu beweisen, dass jede unendliche Menge eine abzählbare Teilmenge besitzt

Sogar führende Mathematiker, die das Auswahlaxiom ablehnten, verwendeten es in ihren eigenen Herleitungen, ohne dass sie es merkten:^[4]

Borel bewies damit, dass es stetige reelle Funktionen gibt, die nicht durch eine doppelte Folge von Polynomen dargestellt werden können.
Lebesgue benutzte das Auswahlaxiom unbewusst, um zu zeigen, dass die Vereinigung von abzählbar vielen messbaren Mengen reeller Zahlen wieder messbar ist.

Offenbar ist mathematisches Schließen gar nicht so ein schematisches Anwenden einfacher logischer Regeln, wie ich einmal dachte.

Musterbeispiel

Für den Einstieg, wenn du einmal das Auswahlaxiom in Aktion sehen willst, empfehle ich den Satz von Vitali, mit dem eine unmessbare Menge konstruiert wird. Dazu wird das Intervall [−1, 1] in überabzählbar viele Teilmengen zerlegt, aus denen jeweils ein Element ausgewählt wird. Das geht nur dank Auswahlaxiom; ohne dem würde man an der Stelle nicht weiterkommen, da man nicht ausdrücklich angeben kann, welches Element aus jeder Teilmenge ausgewählt werden soll.

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Folgerungen aus dem Auswahlaxiom

Quellen

[1]	Carl Mummert auf StackExchange – „The ability to give a name to some arbitrary element of a nonempty set is known as ,existential instantiation‘. This is an inference rule of the underlying logic, not part of the theory“. Ivan Khatchatourian: 11. The Axiom of Choice (PDF), S. 3 – „the statement that a set `B` is non-empty amounts to the first-order formula `φ`(`B`) := (∃`x`) (`x` ∈ `B`) being true. If this formula is true, one can actually find a witness to it. In other words, if a set is known to be non-empty, we can infer that there is something in it, give it a name, and work with it. This rule of inference [is] an example of existential instantiation.“
[2]	Jay Daigle: More Thoughts on the Axiom of Choice – „Shoenfield’s theorem [shows:] ... If you have a sufficiently simple question (for a precise definition of sufficiently simple), then the original model and the constructible universe must give the same answer. Since the axiom of choice always holds in the constructible universe, the answers to these simple questions can’t depend on whether you accept the axiom of choice or not. ... That includes everything about Peano arithmetic and basic number theory“.
[3]	Horst Herrlich: Axiom of Choice (PDF). Berlin: Springer, 2006, S. 22 (im PDF S. 34)
[4]	Horst Herrlich: Axiom of Choice (PDF). Berlin: Springer, 2006, S. 21 (im PDF S. 33)

Seite erstellt am 22.7.2025 – letzte Änderung am 9.12.2025

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