Mario Sedlak
Maßeinheiten
Wissenschaft
Hauptthemen
Neue und erweiterte Seiten

Maßeinheiten für Frequenzverhältnisse in Musik

Physikalisch sind Frequenzverhältnisse eine reine Zahl ohne Maßeinheit (1. Frequenz dividiert durch 2. Frequenz). Die Zahl sagt aus, um wie viel die 2. Frequenz größer als die 1. ist (2. Frequenz = diese Zahl mal 1. Frequenz).

In der Praxis verwenden westliche Musiker für das Verhältnis zweier Töne spezielle Namen, die auf der bei uns gängigen Tonleiter beruhen:

Frequenz Anmerkung
  • Halbton
um die 12. Wurzel von 2 höher als der tiefere Ton ≈ 1,05946·tieferer Ton

Entspricht am Klavier zwei benachbarten Tasten (egal ob weiß oder schwarz).

Die 12. Wurzel ergibt sich durch die 12-stufige Tonleiter (nach 12-maliger Multiplikation muss die Frequenz genau doppelt so hoch sein).

Mehrere Halbtöne können addiert werden. Die Frequenzverhältnisse müssen dann multipliziert werden:

2 Halbtöne ≈ 1,05946·1,05946 = 1,059462 ≈ 1,12246·tieferer Ton

3 Halbtöne ≈ 1,12246·1,05946 = 1,059463 ≈ 1,18921·tieferer Ton

n Halbtöne ≈ 1,05946n·tieferer Ton

(= logarithmische Maßeinheit, ähnlich wie Dezibel)

  • Ganzton
um die 6. Wurzel von 2 höher als der tiefere Ton ≈ 1,12246·tieferer Ton

= 2 Halbtöne

Entspricht am Klavier zwei verwendeten Tasten mit genau einer nicht verwendeten dazwischen (egal ob weiß oder schwarz).

Zwei benachbarte weiße Tasten, zwischen denen keine schwarze ist, sind im Frequenzverhältnis eines Halbtons.

In der Musiktheorie braucht man eine wesentlich kleinere Einheit:

Frequenz Anmerkung
um die 1200. Wurzel von 2 höher als der tiefere Ton ≈ 1,00058·tieferer Ton

Die Tonleiter reicht somit von 0 bis 1200 Cent, also 100 Cent pro Halbton.

Addieren von Cent entspricht ebenfalls Multiplizieren der zugrundeliegenden Frequenzverhältnisse.

Die Halbtöne müssen nicht (wie heute üblich) alle genau den Abstand von 100 Cent (≈ Frequenzverhältnis von 1,05946) haben. Besonders wohlklingend sind nämlich Verhältnisse, die durch kleine ganze Zahlen ausgedrückt werden:

Name Frequenz entspricht auf der Tonleiter entspricht am Klavier
  • Prime (= zwei gleiche Töne)
gleich 0 Cent 0 Halbtöne 1 Taste
  • Sekunde
klein 1/15 höher als Grundton ≈ 1,06667·Grundton ≈ 112 Cent 1 Halbton   2 weiße Tasten, wobei die für den tieferen und den höheren Ton benutzten weißen Tasten und alle weißen dazwischen gezählt werden
groß 1/9 höher als Grundton ≈ 1,11111·Grundton ≈ 182 Cent 2 Halbtöne
1/8 höher als Grundton = 1,12500·Grundton ≈ 204 Cent
  • Terz
klein 1/5 höher als Grundton = 1,20000·Grundton ≈ 316 Cent 3 Halbtöne 3
groß 1/4 höher als Grundton = 1,25000·Grundton ≈ 386 Cent 4 Halbtöne
  • Quarte
rein 1/3 höher als Grundton ≈ 1,33333·Grundton ≈ 498 Cent 5 Halbtöne 4
übermäßig 2/5 höher als Grundton = 1,40000·Grundton ≈ 582 Cent 6 Halbtöne
  • Quinte
vermindert 19/45 höher als Grundton ≈ 1,42222·Grundton ≈ 610 Cent 6 Halbtöne 5
rein 1/2 höher als Grundton = 1,50000·Grundton ≈ 702 Cent 7 Halbtöne
  • Sexte
klein 3/5 höher als Grundton = 1,60000·Grundton ≈ 814 Cent 8 Halbtöne 6
groß 2/3 höher als Grundton ≈ 1,66667·Grundton ≈ 884 Cent 9 Halbtöne
  • Septime
klein 7/9 höher als Grundton ≈ 1,77778·Grundton ≈ 996 Cent 10 Halbtöne 7
4/5 höher als Grundton = 1,80000·Grundton ≈ 1017 Cent
groß 7/8 höher als Grundton = 1,87500·Grundton ≈ 1088 Cent 11 Halbtöne
  • Oktave
2-mal so hoch wie Grundton = 2,00000·Grundton = 1200 Cent 12 Halbtöne 8

Hier wird es kompliziert:

Dennoch werden in beiden Fällen die gleichen Namen verwendet. Es handelt sich also nicht um so exakte Einheiten, wie in der Physik üblich, obwohl die Musiker sie durchaus wie Einheiten gebrauchen. Z. B.:

kleine Terz = Ganzton + Halbton
Septime = Oktave – Sekunde
12 Quinten = (ca.) 7 Oktaven
eine Melodie eine Quarte höher spielen
Diagramm

Quelle: Joachim Mohr, Wikipedia

Häufige Frequenzverhältnisse im Notenbild

Mit "Quarte höher" meinen die Musiker einfach, dass am Klavier um drei weiße Tasten (oder im Notenbild um eineinhalb Linien) nach oben gegangen werden soll. Sie wissen natürlich, dass es große und kleine Quarten (und Terzen, Quinten, Sexten usw.) gibt, aber das sagen sie nicht unbedingt dazu. In dem Fall kann ein und dasselbe Wort (in dem Beispiel "Quarte") für verschiedene Frequenzverhältnisse stehen – vollkommen untypisch für eine Maßeinheit.

Bezeichnungen

Musiker verwenden nur selten die physikalischen Frequenzverhältnisse. Stattdessen bleiben sie bei ihren Tonleitern, wo diese Verhältnisse Intervallen (von-bis) entsprechen. Wenn nötig, addieren und subtrahieren sie diese Intervalle (siehe Beispiele oben). Welche Faktoren sich dadurch für die Frequenzen ergeben, ist für sie unwichtig. Oft sind auch die absoluten Tonhöhen unwichtig, weil Intervalle für uns Menschen in jeder Tonlage ähnlich klingen.

Prime, Sekunde und Terz haben den gleichen Namensursprung wie primär, sekundär und tertiär: Lateinisch für erstes, zweites und drittes. Ebenso die folgenden Intervalle bis Septime und Oktave – diese kennen wir als September und Oktober.

Die Bezeichnung Sekunde finde ich nicht ganz glücklich, weil sie mit der als Zeitmaß bekannten Sekunde verwechselt werden kann (welche wiederum denselben Namensursprung im Lateinischen hat: hora minuta secunda – zum zweiten Mal verminderte Stunde).

Gewöhnungsbedürftig ist, dass die Intervalllängen scheinbar immer um 1 zu groß sind. Z. B. muss man auf den weißen Klaviertasten siebenmal nach rechts gehen, bis man bei der doppelten Frequenz angelangt ist – nicht achtmal, wie der Name "Oktave" verleiten kann.

Größenordnungen

Ein auf beiden Ohren gut hörender Mensch kann Differenzen bis 1/60 eines Ganztonschritts feststellen.[1]

Das entspricht z. B. 440 Hz und 440,8 Hz,[2] die noch unterschieden werden können, wenn die Töne nacheinander erklingen.

bei gleichzeitigem Erklingen sind durch Schwebungseffekte noch wesentlich geringere Intervallunterschiede hörbar.

Eine Verstimmung um mehr als ca. 40 Cent klingt fürchterlich.

Frequenzverhältnisse nicht auf der Tonleiter

Es gibt noch folgende Frequenzverhältnisse aus kleinen ganzen Zahlen, die aber in der westlichen Musik kaum verwendet werden, weil sie nicht auf der zwölfstufigen Tonleiter liegen:

Name Frequenz entspricht auf der Tonleiter entspricht am Klavier
Alphorn-Fa 3/8 höher als Grundton = 1,37500·Grundton ≈ 551 Cent 5 1/2 Halbtöne nicht vorhanden
Naturseptime 3/4 höher als Grundton = 1,75000·Grundton ≈ 969 Cent 9 2/3 Halbtöne

Mehr als Verdopplung der Frequenz

Die Tabelle kann auch nach der Oktave noch fortgesetzt werden:

Name Definition entspricht auf der Tonleiter entspricht am Klavier
None = Oktave + Sekunde 13–14 Halbtöne 9 weiße Tasten, wobei die für den tieferen und den höheren Ton benutzten weißen Tasten und alle weißen dazwischen gezählt werden
Dezime = Oktave + Terz 15–16 Halbtöne 10
Undezime = Oktave + Quarte 17–18 Halbtöne 11
Duodezime = Oktave + Quinte 18–19 Halbtöne 12
Tredezime (oder Terzdezime) = Oktave + Sexte 20–21 Halbtöne 13
Quartdezime = Oktave + Septime 22–23 Halbtöne 14
Quintdezime (oder Doppeloktave) = Oktave + Oktave 24 Halbtöne 15

Diese Namen werden nur selten verwendet, insbesondere weil die Verschiebung um eine Oktave am Wohlklang nicht viel ändert.

Weiter

Cent als Maßeinheit in der Musiktheorie

Weblinks

Quellen

[1] Wieland Ziegenrücker: Allgemeine Musiklehre. mit Fragen und Aufgaben zur Selbstkontrolle. München: Goldmann, 7. Aufl. 1984 (Original 1977), S. 13
[2]
  • 1 Ganztonschritt = 200 Cent
  • 1/60 davon = 200/60 ≈ 3,333 Cent
  • 3,333 Cent = 2(3,333/1200) ≈ 1,001927
  • 440 Hz · 1,001927 ≈ 440,848 Hz