Neper
Das Neper ist eine selten gebrauchte logarithmische Maßeinheit, ähnlich wie Dezibel, nur nicht mit einem Logarithmus zur Basis 10, sondern zur Basis e ≈ 2,72.
| 1 Np = | e1 | ≈ 2,72 ≈ | 4,3 dB | In der Elektrotechnik wird Neper doppelt so vielen Dezibel gleichgesetzt (weil die Elektrotechniker bei Dezibel alles auf quadrierte Größen beziehen, während bei Neper genau umgekehrt die quadrierten Größen auf die unquadrierten runtergerechnet werden[1]). |
| 2 Np = | e2 | ≈ 7,39 ≈ | 8,7 dB | |
| −1 Np = | e−1 | ≈ 0,37 ≈ | −4,3 dB | |
| 0,1 Np = | e0,1 | ≈ 1,11 ≈ | 0,4 dB |
Gebräuchliche Vorsätze
| 1 cNp | = 1 Zentineper | = 0,01 Neper | = e0,01 | ≈ 1,0100502 |
| 1 dNp | = 1 Dezineper | = 0,1 Neper | = e0,1 | ≈ 1,1051709 |
Vorteile
1. Komplexe Zahlen, wie sie in der Elektrotechnik auftreten, können in Neper umgerechnet werden, und dabei kommt automatisch etwas Brauchbares heraus (Dämpfung und Phasenverschiebung). Bei Dezibel oder anderen logarithmischen Einheiten wären Umrechnungsfaktoren nötig. Seit den 1970er Jahren werden aber dennoch Dezibel statt Neper verwendet.
2. Zentineper wären besser als Prozent geeignet, um ein Wachstum auszudrücken.
- +1% = 101% ≈ 1 cNp (Bei größeren Prozentwerten wächst der Unterschied.)
- Es muss nicht zwischen Prozent und Prozentpunkten unterschieden werden.
- +1 cNp ist immer Multiplikation mit 1,01...
- 50% + 1% kann hingegen 51% oder 50,5% sein. (Im ersten Fall müsste man + 1 Prozentpunkt sagen, aber das wird nicht immer getan.)
- Prozentänderungen beziehen sich auf den Ausgangswert und können daher i. A. nicht addiert werden. Zentineper können immer addiert werden.
- Steigt ein Wert viermal in Folge um 10% (des Vorwerts), ergibt sich eine Gesamtsteigerung um 46,4% (nicht 40%!). Sinkt der Wert dann viermal um 10% (des Vorwerts), dann erreicht er nicht den Ausgangswert, sondern 4% weniger.[2]
- Steigt ein Wert viermal um 1 cNp, ergibt sich eine Gesamtsteigerung von 4 cNp.[3] Sinkt dieser Wert dann viermal um 1 cNp, ergibt sich wieder exakt der Ausgangswert.[4]
Größenordnungen
| 1 cNp = | e0,01 | ≈ 1,0100502 ≈ | +1,005% | |
| −1 cNp = | e−0,01 | ≈ 0,9900498 ≈ | −0,995% | |
| 10 cNp = | e0,1 | ≈ 1,1051709 ≈ | +10,517% | |
| −10 cNp = | e−0,1 | ≈ 0,9048374 ≈ | −9,516% | |
| 40 cNp = | e0,4 | ≈ 1,4918247 ≈ | +49,183% | ≈ 3/2 |
| −40 cNp = | e−0,4 | ≈ 0,6703201 ≈ | −32,968% | ≈ 2/3 |
| 69 cNp = | e0,69 | ≈ 1,9937155 ≈ | +99,372% | ≈ 2 |
| −69 cNp = | e−0,69 | ≈ 0,5015761 ≈ | −49,842% | ≈ 1/2 |
Nur mit der Basis e sind die Werte so nahe an den Prozent. Die Abweichungen erklären sich dadurch, dass er gerade die kontinuierliche Verzinsung zum Zinssatz r ist. D. h. die Abweichung ist genau das, was durch die kontinuierliche statt einmaliger Verzinsung dazukommt (Zinseszinseffekt).
Quellen
| [1] | International Telecommunication Union: Use of the decibel and the neper in telecommunications (PDF), S. 2f. (im PDF S. 4f.) |
| [2] |
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| [3] | 1 cNp + 1 cNp + 1 cNp + 1 cNp = e0,01·e0,01·e0,01·e0,01 = e0,01+0,01+0,01+0,01 = e0,04 = 4 cNp |
| [4] | 4 cNp – 1 cNp – 1 cNp – 1 cNp – 1 cNp = e0,04·e−0,01·e−0,01·e−0,01·e−0,01 = e0,04−0,01−0,01−0,01−0,01 = e0 = 1 = Ausgangswert |