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Ich habe mich auch mit der konstruktivistischen Logik beschäftigt. Diese unterscheidet zwischen
- wahren (= konstruktiv beweisbaren),
- absurden (= nachweislich widerspruchsvollen) und
- (vorläufig!) unentscheidbaren
Aussagen. Die Ansichten der Vertreter dieser Richtung kann ich jedoch absolut nicht teilen. Am besten kann ich das mit folgendem Beispiel illustrieren:
Es sei eine endlose Folge gegeben, von der nur bekannt ist, dass sie alle natürlichen Zahlen zumindest einmal enthält. Dann ist die Aussage "Die Folge enthält die Zahl 1" nach üblicher Logik trivialerweise wahr. Da man aber nicht weiß, wann die 1 auftritt, kann man kein Verfahren angeben, das garantiert nach höchstens M Schritten das Folgenglied mit der 1 findet. Natürlich würde man die 1 finden, wenn man die ganze Folge durchgehen könnte, aber weil man nie unendlich viele Schritte ausführen kann, ist die Aussage "Die Folge enthält die Zahl 1" für einen Konstruktivisten im Allgemeinen unentscheidbar, obwohl es wegen der Voraussetzung absurd ist, dass "Die Folge enthält die Zahl 1" eine falsche Aussage ist. Erst wenn man irgendwie doch die 1 in der Folge gefunden haben sollte, spricht auch die konstruktivistische Logik von einer wahren Aussage.
Nur weil die Konstruktivisten so eine "seltsame" Logik einführen, gilt das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten nicht mehr, d. h. wenn das logische Gegenteil einer Aussage auf einen Widerspruch führt, ist damit nicht die Aussage bewiesen. Dass die konstruktivistische Logik intuitiv klarer sein soll, kann ich absolut nicht nachvollziehen, denn für mich ist es z. B. völlig klar, dass von einer unendlichen Folge reeller Zahlen aus dem beschränkten Intervall [a, b] mindestens in einem der beiden Teilintervalle [a, a1], [a1, b] unendlich viele Folgenglieder liegen. Für die Konstruktivisten ist das hingegen nur "metaphysische Spekulation"![1] Sie benötigen zum Beweis der gleichen Aussage einen Beweis über 6 Seiten! Der Beweis ist vielleicht nicht uninteressant, denn man lernt viel über die tiefgründigen Zusammenhänge, wenn man mehrere unterschiedliche Zugänge zu einer Sache kennt, aber intuitiv klar ist er – jedenfalls für mich – in keinster Weise!
Die Konstruktivisten kritisieren auch den Mengenbegriff scharf:
Was ist, wenn eine Katze eine Menge von Socken frisst? Wo ist dann die Menge?
Hier sah ich den Kernpunkt der Diskussion: Die Konstruktivisten vermischen Mathematik und Wirklichkeit. Aussagen über die Wirklichkeit, die reine Existenzsätze sind, aber keine Möglichkeit zum Finden des existierenden Objekts geben, sind natürlich von geringerem Interesse. Was nützt es einem Arbeitssuchenden, wenn er weiß, dass irgendwo eine Stelle für ihn frei ist, aber er nicht weiß, wo? Doch manchmal sind selbst so schwache Aussagen von großem Wert: Wenn wir etwa wüssten, dass es eine außerirdische Zivilisation in unserer Milchstraße gibt, könnten wir die SETI-
Alles in allem sehe ich daher wenig Positives an der konstruktivistischen Logik. Ich reihe sie in dieselbe Kategorie ein wie Philosophen, die geistreiche Bücher über grundlegende philosophische Fragen schreiben, eine ganze Logik aufbauen, aber am Ende zugeben, dass alles hinfällig wird, wenn bei einer Erkenntnis ein Irrtum passiert ist.[2] Da wir einen Irrtum nie ausschließen können – wozu dann das Ganze? Wäre es nicht realistischer (und nützlicher), einen wissenschaftstheoretischen Rahmen aufzubauen, der die Möglichkeit von Irrtümern von vornherein berücksichtigt?
Mathematik ist a priori nur ein System von Voraussetzungen samt Schlussfolgerungen. Wenn man mathematische Quellen konsultiert, hat man oft den Eindruck, dass in der Mathematik Sachen allein deswegen untersucht werden, weil man sie untersuchen kann. Das stimmt jedoch nicht! Zwar wird tatsächlich vieles untersucht, was (noch) keine Anwendungen hat, aber am interessantesten ist immer das, was irgendeinen Bezug zu etwas anderem Interessanten besitzt. Kein Mathematiker erfindet eine neue algebraische Struktur mit irgendwelchen, völlig willkürlichen Gesetzen und schaut dann, was er alles ableiten kann. Z. B. hat meines Wissens noch niemand die Tensoranalysis auf Vektorräume mit endlichem Körper übertragen. Erst nach 7 Semestern Mathematik-
Den Physikern muss ich leider auch etwas vorwerfen. Während die Mathematiker alles streng logisch, formal, axiomatisch begründen und darüber die Motivation, das Vermitteln des intuitiven Zugangs vergessen, genügt es den Physikern vollkommen, wenn sie einen Kalkül haben, der richtige Ergebnisse liefert. Ich habe oft den Eindruck, dass es den Physikern ziemlich egal ist, ob man irgendetwas logisch beweisen kann oder nicht. "Das Experiment ist der beste Beweis", heißt es. Aber ich (als Mathematiker) sehe hierbei die Gefahr, dass man vom richtigen Weg abkommt, weil man einfach "damit arbeitet" und sich nicht um irgendwelche theoretischen Beweise und Begründungen kümmert. Ich kann prinzipiell nicht mit einem Kalkül arbeiten, von dem ich nicht weiß, wie, wann und warum er funktioniert. (Viele andere haben damit jedoch zugegebenermaßen keine Probleme, z. B. mit den nie erklärten, aber in der Physik ständig verwendeten infinitesimalen Änderungen.)
Das ist für mich so, als würde man lernen: § ist eine Funktion, die zwei reellen Zahlen eine andere reelle Zahl zuordnet; um sie zu berechnen ist die entsprechende Taste am Taschenrechner zu drücken. (§ kann z. B. die Operation + sein, aber das sage ich nicht, damit du dich vielleicht besser in meine Lage als Lernenden versetzen kannst.) Dieses Wissen genügt vielleicht, um praktische Aufgaben lösen zu können – wenn man aber forschen will und bisher ungelöste Probleme behandeln will, so wird man mit diesem Wissen nicht weit kommen. Das Wichtige ist immer, die grundlegenden Konzepte und die Ideen dahinter zu verstehen. Jedenfalls wenn man mehr will, als "auf die Taste zu drücken". Ich bin erst zufrieden, wenn ich "alle" Fragen, die man über das Wissensgebiet X stellen kann, beantworten kann. Dadurch zeichnet sich nämlich meines Erachtens tiefes Verständnis aus.