ThemenDiesen Artikel habe ich während meines Mathematik-
Denksportaufgabe zur intuitionistischen Logik
In der so genannten intuitionistischen Logik unterscheidet man zwischen
- wahren (= konstruktiv beweisbaren),
- absurden (= nachweislich widerspruchsvollen) und
- (vorläufig) unentscheidbaren
Aussagen. Für "p ist absurd" schreibt man kurz abs p, für "Es ist absurd, dass p absurd ist" kurz abs2 p. Aus abs2 p folgt keineswegs, dass p wahr ist. Es ist abs2 p zwar eine notwendige Bedingung für "p ist wahr", aber keine hinreichende. Selbst wenn p nach üblicher Logik unter keinen Umständen falsch sein kann, ist p in der intuitionistischen Logik erst dann wahr, wenn man das konstruktiv beweisen kann.
Ein Beispiel soll das verdeutlichen: Es sei eine endlose Folge gegeben, von der nur bekannt ist, dass sie alle natürlichen Zahlen zumindest einmal enthält. Dann ist die Aussage "Die Folge enthält die Zahl 1" nach üblicher Logik trivialerweise wahr. Da man aber nicht weiß, wann die 1 auftritt, kann man kein Verfahren angeben, das garantiert nach höchstens M Schritten das Folgenglied mit der 1 findet. Natürlich würde man die 1 finden, wenn man die ganze Folge durchgehen könnte, aber weil man nie unendlich viele Schritte ausführen kann, ist die Aussage "Die Folge enthält die Zahl 1" im Allgemeinen unentscheidbar, obwohl es wegen der Voraussetzung absurd ist, dass "Die Folge enthält die Zahl 1" absurd ist. Erst wenn man irgendwie doch die 1 in der Folge gefunden haben sollte, spricht auch die intuitionistische Logik von einer wahren Aussage.
Natürlich kann man eine Aussage beliebig oft um ein "ist absurd" erweitern. Es entsteht eine endlose Kette: p, abs p, abs2 p, abs3 p, ... . Überraschenderweise lässt sich aber zeigen, dass stets abs3 p zu abs p äquivalent ist, damit auch abs4 p zu abs2 p usw. Kannst Du dafür einen formalen Beweis geben, der nur das hier Gesagte und die Voraussetzung "Absurdes folgt nur aus Absurdem" benützt?
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