Mario Sedlak
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Bernoulli-Gleichung

Wenn eine Flüssigkeit oder ein Gas durch eine Engstelle muss, dann staut sie sich vor ihr so lange, bis pro Zeiteinheit genauso viel zufließt wie abfließt. Die Geschwindigkeit im engen Stück wird höher sein.

Skizze

Das ist leicht einzusehen, aber im engen Stück sinkt auch der Druck.

Skizze

Bernoulli-Gleichung in der einfachsten Form:

p + ρv2/2 = konstant

p = Druck
ρ = Masse pro Volumen (Dichte)
v = Geschwindigkeit

Wieso? Weil die Energieerhaltung gilt:

potenzielle Energie + kinetische Energie = konstant

Druck ist potenzielle Energie, Geschwindigkeit entspricht kinetischer Energie. Wenn die Geschwindigkeit steigt, muss daher der Druck sinken. Das ist die Hauptaussage der Bernoulli-Gleichung.

Plausibilisierung:

Skizze

Die Bernoulli-Gleichung ist auch anwendbar, wenn Wasser durch ein Loch (= Engstelle) aus einem Gefäß austritt. Würde beim Austritt der Druck nicht abfallen, könnte das Wasser bis über die Höhe des Wasserspiegels schießen.[1] Das wäre ein Energiegewinn aus dem Nichts und ist daher unmöglich.

Maximale Geschwindigkeitsdifferenz in Luft und in Wasser

Diagramm

Zusammenhang von Druck und Geschwindigkeit laut Bernoulli-Gleichung: Bei Luft reicht schon ein geringer Druck für eine hohe Geschwindigkeitszunahme; bei Wasser entspricht bereits eine geringe Geschwindigkeitsänderung einer großen Druckänderung. Das dargestellte Maximum wird erreicht, wenn die kleinere Geschwindigkeit 0 ist.

Voraussetzungen

Eine Wand ist nur dann nicht erforderlich, wenn die Strömung durch ein passives Hindernis umgelenkt wird: Dann kommt es lokal zu Druck- und Geschwindigkeitsänderungen, die der Bernoulli-Gleichung gehorchen.

Wie immer in der Physik sind die Voraussetzungen nicht als strikte Verbote zu verstehen. Die Gleichung wird nicht sofort komplett falsch, wenn Bedingungen nicht ganz erfüllt sind. Wichtig ist allerdings, zu wissen, unter welchen Umständen der Fehler klein bleibt.

Verallgemeinerung

Bernoulli-Gleichung mit Lageenergie (für nicht horizontale Strömung):

p + ρv2/2 + ρgh = konstant

g = Erdbeschleunigung = 9,81 m/s2
h = Höhe (gemessen von einem beliebigen, aber festen Punkt)

Missverständnisse

Das Bernoulli-Prinzip ist leicht zu verstehen, wenn es richtig formuliert wird. Wir müssen jedoch aufpassen, denn scheinbar kleine Änderungen in der Wortwahl können zu falschen Schlussfolgerungen führen.
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Frei fließende Flüsse nehmen alle den Atmosphärendruck an.

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Vor einer Engstelle muss der Wasserspiegel etwas höher sein, damit das Wasser beschleunigt werden kann. Bei Eintritt in die Engstelle fällt der Druck laut Bernoulli-Gleichung ab, aber der Luftdruck gleicht das praktisch sofort wieder aus.

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In Turbinen kann der Druck fast auf 0 abfallen (mit Gefahr von Beschädigung).

Anwendungen

Theorie

Bezeichnungen

Weiter

Veranschaulichung der Bernoulli-Gleichung

Quellen

[1]
  • Der Druck allein würde ausreichen, dass das Wasser den ursprünglichen Wasserspiegel erreicht. (In verbundenen Gefäßen steht das Wasser gleich hoch.)
  • Mit zusätzlich vorhandener Geschwindigkeit würde das Wasser noch höher steigen.
[2]
[3] David F. Anderson, Scott Eberhardt: The Newtonian Description of Lift of a Wing (PDF), S. 11f. – "At the exit from the hairdryer or from your lips the stream of air adjusts itself by expanding or contracting to have the same value of ps as the surrounding air."
[4] Jörn Loviscach: Drei Überraschungen beim Satz von Bernoulli (Video), ab 7:47